Deje que el punto sea [matemáticas] (x_1, y_1) [/ matemáticas] y la función lineal con respecto a la cual se refleja sea [matemáticas] ax + por + c = 0. [/ Matemáticas]
Deje que las coordenadas de la imagen sean [matemáticas] (x_2, y_2). [/ Matemáticas]
La distancia de [math] (x_1, y_1) [/ math] desde la línea [math] ax + by + c = 0 [/ math] es [math] | \ frac {ax_1 + by_1 + c} {\ sqrt { a ^ 2 + b ^ 2}} |. [/ matemáticas]
La distancia de [math] (x_2, y_2) [/ math] desde la línea [math] ax + by + c = 0 [/ math] es [math] | \ frac {ax_2 + by_2 + c} {\ sqrt { a ^ 2 + b ^ 2}} |. [/ matemáticas]
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El punto y su reflejo son equidistantes de la línea pero se encuentran en lados opuestos.
[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad \ frac {ax_1 + by_1 + c} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} = – \ frac {ax_2 + by_2 + c} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} \ qquad \ Rightarrow \ qquad ax_2 + by_2 + ax_1 + by_1 + 2c = 0. [/ Math]
La pendiente de la línea que une el punto y su imagen es el recíproco negativo de la línea con respecto a la cual se refleja el punto.
La pendiente de la línea [matemática] ax + por + c = 0 [/ matemática] es [matemática] – \ frac {a} {b}. [/ Matemática]
[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad \ frac {y_2-y_1} {x_2-x_1} = \ frac {b} {a} \ qquad \ Rightarrow \ qquad bx_2-ay_2-bx_1 + ay_1 = 0. [/ math]
[math] \ Rightarrow \ qquad a ^ 2x_2 + aby_2 + a ^ 2x_1 + aby_1 + 2ac = 0, [/ math] y,
[math] \ Rightarrow \ qquad b ^ 2x_2-aby_2-b ^ 2x_1 + aby_1 = 0. [/ math]
[matemática] \ Rightarrow \ qquad (a ^ 2 + b ^ 2) x_2 + (a ^ 2-b ^ 2) x_1 + 2aby_1 + 2ac = 0. [/ math]
[math] \ Rightarrow \ qquad x_2 = – \ left (\ frac {(a ^ 2-b ^ 2) x_1 + 2aby_1 + 2ac} {a ^ 2 + b ^ 2} \ right). [/ math]
También [math] \ qquad abx_2 + b ^ 2y_2 + abx_1 + b ^ 2y_1 + 2bc = 0, [/ math] y,
[matemáticas] \ qquad \ qquad abx_2-a ^ 2y_2-abx_1 + a ^ 2y_1 = 0. [/ matemáticas]
[matemática] \ Rightarrow \ qquad (a ^ 2 + b ^ 2) y_2- (a ^ 2-b ^ 2) y_1 + 2abx_1 + 2bc = 0. [/ math]
[math] \ Rightarrow \ qquad y_2 = \ left (\ frac {(a ^ 2-b ^ 2) y_1-2abx_1-2bc} {a ^ 2 + b ^ 2} \ right). [/ math]
[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] Las coordenadas de la imagen son [math] (x_2, y_2), [/ math] donde,
[matemáticas] x_2 = – \ left (\ frac {(a ^ 2-b ^ 2) x_1 + 2aby_1 + 2ac} {a ^ 2 + b ^ 2} \ right) [/ matemáticas] y [matemáticas] y_2 = \ left (\ frac {(a ^ 2-b ^ 2) y_1-2abx_1-2bc} {a ^ 2 + b ^ 2} \ right). [/ math]
