Es posible encontrar un ejemplo de espacio métrico (X, d) y un subconjunto A que int (bd (A)) = X?

Answer 1

Seguro.

Si queremos que el interior de cualquier cosa sea todo el espacio [matemáticas] X [/ matemáticas], ese “cualquier cosa” debe ser [matemáticas] X [/ matemáticas] en sí. Entonces, estamos buscando un conjunto [matemático] A [/ matemático] cuyo límite es todo [matemático] X [/ matemático], y dado que el límite es el cierre menos el interior, necesitamos [matemático] A [/ matemático] ser denso teniendo el interior vacío.

Esto no es difícil de hacer: por ejemplo, que [math] X [/ math] sea la línea real [math] \ mathbb {R} [/ math], y que [math] A [/ math] sea lo racional números, o los números irracionales, o los números algebraicos, o los trascendentales, o los números diádicos, o cualquier otro conjunto cuyo cierre sea [math] \ mathbb {R} [/ math] y que no contenga intervalo abierto. Para cualquier [matemática] A [/ matemática] encontrará [matemática] \ text {int} (\ text {bd} (A)) = X [/ matemática].