¿Cómo se integraría [math] \ dfrac {10} {9} x ^ 2 + 1 [/ math]?

Answer 1

Encontrar una función primitiva generalmente sigue algunas pautas. En primer lugar, la integración es lineal, es decir

[matemáticas] \ int \ left [\ alpha f \ left (x \ right) + \ beta g \ left (x \ right) \ right] \ mathrm {d} x = \ alpha \ int f \ left (x \ right ) \ mathrm {d} x + \ beta \ int g \ left (x \ right) \ mathrm {d} x. [/ math]

Esto significa que podemos reescribir la integral como

[matemáticas] \ int \ left (\ frac {10} {9} x ^ 2 + 1 \ right) \ mathrm {d} x = \ frac {10} {9} \ int x ^ 2 \: \ mathrm {d } x + \ int 1 \: \ mathrm {d} x. [/ math]

Ahora miramos las integrales y notamos que estas son integrales elementales, del mismo tipo:

[matemática] \ int x ^ n \: \ matemática {d} x = \ frac {x ^ {n + 1}} {n + 1} + C. [/ matemática]

La primera integral que necesitamos es este tipo para [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas] y la otra para [matemáticas] n = 0 [/ matemáticas]. Esto da

[matemáticas] \ int \ left (\ frac {10} {9} x ^ 2 + 1 \ right) \ mathrm {d} x = \ frac {10} {9} \ int x ^ 2 \: \ mathrm {d } x + \ int 1 \: \ mathrm {d} x = \ frac {10} {27} x ^ 3 + x + C. [/ math]

Answer 2

Queremos integrarnos con respecto a [math] x [/ math].

[matemáticas] \ begin {align} I & = \ displaystyle \ int \ left (\ dfrac {10} {9} x ^ 2 + 1 \ right) \ text {dx} \\ & = \ dfrac {10} {9} \ displaystyle \ int (x ^ 2 + 1) \ text {dx} \\ & = \ dfrac {10} {9} \ left [\ underbrace {\ dfrac {x ^ 3} {3} + x} _ {\ text {Power Rule}} \ right] \\ & = \ boxed {\ dfrac {10} {27} x ^ 3 + x + C} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Answer 3

Aumente en uno el exponente de x en cada término y divida cada término entre el nuevo exponente en cada término respectivo.

No olvide que hay una variable, x, en el término “1” → [matemática] 1 = [/ matemática] [matemática] 1x ^ 0 = x ^ 0 [/ matemática]

Entonces integre cada término individualmente y obtenemos

[matemáticas] \ frac {10} {9} \ frac {x ^ 3} {3} + \ frac {x ^ 1} {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {10} {27} x ^ 3 + x + C [/ matemáticas]

Answer 4

Exactamente de la misma manera que uno integraría A (x ^ 2) + B … solo con los valores específicos utilizados en lugar de estas constantes genéricas.

¿No? ¿Aún no estás ayudando? ¿Qué tal esto?

3 A (x ^ (3–1)) +1 B (x ^ (1–1))

Donde A = 10/9 y B = 1.

Integra eso. Aquí hay una pista:

La respuesta estará en la forma:

(A / m) (x ^ n) + (B / p) (x ^ q) + C

Donde m, n, p y q son constantes que necesita encontrar, A y B son como se indicó anteriormente, y C es una constante de integración arbitraria para integrales indefinidas.

¿Aún nada?

Ok, una última pista:

myn están relacionados con el exponente 2 y pyq están relacionados con el exponente 0 .

Sin embargo, no son iguales a esos exponentes.

Answer 5

[matemáticas] \ int {\ left (\ frac {10} {9} {{x} ^ {2}} + 1 \ right)} dx [/ math]

[matemática] \ Rightarrow \ frac {10} {9} \ left (\ frac {{{x} ^ {2 + 1}}} {2 + 1} \ right) + x + c [/ math]

[matemáticas] \ Rightarrow \ frac {10} {27} {{x} ^ {3}} + x + c [/ matemáticas]