Pregunta: ¿Cómo pruebo la siguiente desigualdad (1 + a / b) ^ n + (1 + b / a) ^ n> = 2 ^ (n + 1)? Supongo que ayb son números reales mayores que cero yn es un número entero positivo.
Utilizaremos la desigualdad de los medios:
[matemáticas] x + y \ ge 2 \ sqrt {xy} [/ matemáticas] para [matemáticas] x, y \ ge 0 [/ matemáticas]
Esto se prueba fácilmente al observar que para [math] x, y \ ge 0 [/ math]
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[matemáticas] (xy) ^ 2 \ ge 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2-2xy \ ge 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy \ ge 4xy [/ matemáticas]
[matemáticas] (x + y) ^ 2 \ ge 4xy [/ matemáticas]
[matemáticas] x + y \ ge 2 \ sqrt {xy} [/ matemáticas]
Tenemos esta pregunta que tenemos:
[matemáticas] (1 + a / b) ^ n + (1 + b / a) ^ n \ ge 2 \ sqrt {(1 + a / b) ^ n (1 + b / a) ^ n} [/ matemáticas ] [por IOTM]
[matemáticas] = 2 \ ((1 + a / b) (1 + b / a)) ^ {n / 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 \ (2 + a / b + b / a) ^ {n / 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ ge 2 \ (2 + 2) ^ {n / 2} [/ matemáticas] [por IOTM]
[matemáticas] = 2 \ (2) ^ {n} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 ^ {n + 1} [/ matemáticas] [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]