¿Cómo encuentras el máximo y el mínimo de un polinomio?
Iguala la primera derivada a cero y obtiene los puntos críticos.
Luego descubres el valor de la segunda derivada en los puntos críticos. Si la segunda derivada es positiva, tiene un mínimo en este punto y si la segunda derivada es negativa, tiene un máximo en este punto.
El método es el mismo cuando la variable es una función trigonométrica.
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Como ejemplo, considere la función [matemáticas] y = \ sin ^ 2x + \ sin x + 3. [/ Matemáticas]
La primera derivada es [matemática] \ frac {dy} {dx} = 2 \ sin x \ cos x + \ cos x. [/ Matemática]
En los puntos críticos, [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = 2 \ sen x \ cos x + \ cos x = 0. [/ Matemáticas]
[math] \ Rightarrow \ qquad \ cos x (2 \ sin x + 1) = 0. [/ math]
[math] \ Rightarrow \ qquad \ cos x = 0 \ qquad [/ math] o [math] \ qquad [/ math] [math] 2 \ sin x + 1 = 0. [/ math]
[math] \ Rightarrow \ qquad \ cos x = 0 \ qquad [/ math] o [math] \ qquad \ sin x = – \ frac {1} {2}. [/ math]
[matemática] \ Rightarrow \ qquad x = \ left (\ frac {2m + 1} {2} \ right) \ pi \ qquad m \ en Z [/ math]
[matemáticas] \ qquad [/ matemáticas] o [matemáticas] \ qquad x = n \ pi + (-1) ^ n \ frac {7 \ pi} {6} \ qquad n \ en Z. [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = 2 \ sin x \ cos x + \ cos x = \ sin 2x + \ cos x. [/ matemáticas]
[math] \ Rightarrow \ qquad \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = 2 \ cos 2x – \ sen x. [/ math]
Para [matemáticas] x = \ left (\ frac {2m + 1} {2} \ right) \ pi, \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = 2 \ cos (2m + 1) \ pi – \ sin \ left (\ frac {2m + 1} {2} \ right) \ pi <0 \, \, \ forall \, \, m \ en Z. [/ math]
[math] \ Rightarrow \ qquad x = \ left (\ frac {2m + 1} {2} \ right) \ pi, \, \, m \ en Z, [/ math] representan los máximos de la función.
Para [matemáticas] x = n \ pi + (-1) ^ n \ frac {7 \ pi} {6}, \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = 2 \ cos (2n \ pi + (- 1) ^ n \ frac {7 \ pi} {3}) – \ sin \ left (n \ pi + (-1) ^ n \ frac {7 \ pi} {6} \ right)> 0 \, \, \ forall \, \, n \ en Z. [/ math]
[math] \ Rightarrow \ qquad x = n \ pi + (-1) ^ n \ frac {7 \ pi} {6}, \, \, n \ in Z, [/ math] representan mínimos de la función.