¿Hay alguna función f (x) = g (x) h (x) que su derivada es f ‘(x) = g’ (x) h ‘(x) donde g (x) no es igual a h (x) ?

Answer 1

Hay infinitas funciones de este tipo. Elija cualquier función continua [matemática] F (x) [/ matemática] tal que

[matemáticas] \ begin {align *} G (x) & = \ int_0 ^ x \ frac {dt} {F (t)} \\ H (x) & = \ int_0 ^ x \ frac {dt} {1 – F (t)} \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

convergen para todos los [math] x [/ math] reales. Entonces

[matemáticas] \ begin {align *} g (x) & = e ^ {G (x)} \\ h (x) & = e ^ {H (x)} \ end {align *} \ tag * {} [/matemáticas]

da una solución ¿Porqué es eso? Tenga en cuenta que

[matemáticas] \ begin {align *} g ‘(x) & = \ frac {g (x)} {F (x)} \\ h’ (x) & = \ frac {h (x)} {1 – F (x)} \ end {align *} \ tag * {}, [/ math]

y por lo tanto

[matemáticas] \ begin {align *} g ‘(x) h (x) + g (x) h’ (x) & = \ frac {g (x) h (x)} {F (x)} + \ frac {g (x) h (x)} {1 – F (x)} \\ & = \ frac {g (x) h (x)} {F (x) (1 – F (x))} \ \ & = g ‘(x) h’ (x) \ end {align *} \ tag * {}. [/ math]

Answer 2

Bien, solo jugando por aquí, f ‘(x) = g’ (x) h (x) + g (x) h ‘(x). Igualando los dos,

g ‘(x) h (x) + g (x) h’ (x) = g ‘(x) h’ (x)

g ‘(x) / g (x) + h’ (x) / h (x) = g ‘(x) h’ (x) / g (x) h (x)

si g (x) = e ^ a (x) y h (x) = e ^ b (x) entonces g ‘(x) = a’ (x) e ^ a (x) y h ‘(x) = b ‘(x) e ^ b (c) entonces, sustituyendo

a ‘(x) + b’ (x) = a ‘(x) b’ (x)

b ‘(x) = a’ (x) / (1-a ‘(x))

Obviamente, he estado muy flojo en las esquinas, pero esto debería darnos un amplio rango de b ‘(x) s en términos de a’ (x) s, que podemos integrar para obtener b (x) s de a ( x) sy así obtener ag (x) de una h (x). Tomemos un ejemplo:

a (x) = x ^ 2

a ‘(x) = 2x

b ‘(x) = 2x / (1–2x)

b (x) = – x-ln (1–2x) / 2 + c

g (x) = e ^ (x ^ 2)

h (x) = e ^ (- x) / sqrt (1–2x)

f (x) = e ^ (x ^ 2-x) / sqrt (1–2)

g ‘(x) = 2xe ^ (x ^ 2)

h ‘(x) = 2xe ^ (- x) / (1–2x) ^ (3/2)

f ‘(x) = / = g’ (x) h ‘(x)

hmm … demasiado sueño para resolver esto

Answer 3

A partir de un teorema fundamental de derivadas si [matemáticas] f (x) = g (x) h (x) [/ matemáticas] entonces [matemáticas] f ‘(x) = g’ (x) h (x) + g (x ) h ‘(x) [/ math] así que supongo que solo hay una forma: [math] f (x) = e ^ x \ cdot const [/ math] so [math] g (x) = e ^ x [ / math] y [math] h (x) = const [/ math] que es una solución degenerada, apenas aceptable.