¿Cuál es el rango de [math] \ dfrac {1} {x ^ 2 + x} [/ math]?

Answer 1

A menudo, una manera simple de encontrar el rango de una función es encontrar su inverso y determinar el dominio de eso:

[matemáticas] f (x) = \ dfrac {1} {x ^ 2 + x} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ dfrac {1} {y ^ 2 + y} [/ matemáticas]

[matemáticas] xy ^ 2 + xy – 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ dfrac {-x \ pm \ sqrt {x ^ 2 + 4x}} {2x} [/ matemáticas]

Los problemas de dominio se encuentran en la raíz cuadrada y el denominador; desde el denominador, podemos observar de inmediato que [math] x = 0 [/ math] debe excluirse del dominio; para la raíz cuadrada, debemos escribir la desigualdad como

[matemáticas] x (x + 4) \ geq 0 [/ matemáticas]

Algunas pruebas de puntos alrededor de los puntos críticos (ceros) revelarán que la respuesta es [matemática] (- \ infty, -4] \ bigcup \ text {} [0, \ infty). [/ Math]

Sin embargo, sabemos que [math] 0 [/ math] no debe incluirse (hace que el denominador sea cero); como tal, nuestra respuesta final para el dominio de la inversa o el rango de la función es

[matemáticas] \ boxed {R: (- \ infty, -4] \ text {} \ bigcup \ text {} (0, \ infty)} [/ math]

Una comprobación rápida del gráfico verificará la respuesta anterior:

Answer 2

El rango es todos los números reales excepto una asíntota horizontal. Para encontrar eso, solo encuentra la asíntota vertical de la función inversa:

[matemáticas] y = \ displaystyle \ frac {1} {x ^ 2 + x} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + x = \ displaystyle \ frac {1} {y} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + x + \ displaystyle \ frac {1} {4} = \ displaystyle \ frac {1} {y} [/ math] [matemáticas] + \ displaystyle \ frac {1} {4} [/ math ]

[math] (x + \ displaystyle \ frac {1} {2}) ^ 2 = \ displaystyle \ frac {1} {y} [/ math] [math] + \ displaystyle \ frac {1} {4} [/ math ]

[matemáticas] x = \ sqrt {\ displaystyle \ frac {1} {y} + \ displaystyle \ frac {1} {4}} – \ displaystyle \ frac {1} {2} [/ math]

[matemáticas] f ^ {- 1} (x) = \ sqrt {\ displaystyle \ frac {1} {x} + \ displaystyle \ frac {1} {4}} – \ displaystyle \ frac {1} {2} [ /matemáticas]

la asíntota vertical es [matemática] x = 0 [/ matemática]. entonces:

[matemáticas] R: [/ matemáticas] {[matemáticas] y | y \ ne 0, y \ in \ mathbb {R} [/ matemáticas]}

Answer 3

let [matemáticas] g (x) = x ^ 2 + x, f (x) = \ frac {1} {g (x)}, g (x) \ neq 0, x \ en R [/ matemáticas]

[matemáticas] g (x) = x ^ 2 + x = (x + \ frac {1} {2}) ^ 2- \ frac {1} {4} [/ matemáticas]

entonces, el rango de g (x) es [matemático] (- \ frac {1} {4}, 0) \ cup (0, + \ infty) [/ matemático]

cuando [math] g (x)> 0 [/ math], el rango de f (x) es [math] (0, + \ infty) [/ math]

cuando [math] g (x) \ in (- \ frac {1} {4}, 0) [/ math], el rango de f (x) es [math] (- \ infty, -4) [/ math ]

entonces: el rango de f (x) es [math] (- \ infty, -4) \ cup (0, + \ infty) [/ math]