¿Cómo es posible eliminar [matemáticas] t [/ matemáticas] en las ecuaciones paramétricas [matemáticas] x (t) = \ dfrac {cp_0} {F} \ ln \ left [\ dfrac {cF} {E_0} t + \ dfrac {\ sqrt {E_0 ^ 2 + c ^ 2F ^ 2t ^ 2}} {E_0} \ right] [/ math] y [math] y (t) = \ dfrac {1} {F} \ left (\ sqrt { E_0 ^ 2 + c ^ 2F ^ 2t ^ 2} -E_0 \ right) [/ math] y express [math] y [/ math] en función de [math] x [/ math]?

Answer 1

A2A, gracias.

Veo una manera de expresar [matemáticas] x [/ matemáticas] en función de [matemáticas] y [/ matemáticas]. (No hay tiempo para invertir la función).

Introducir la variable

[matemáticas] w = {\ sqrt {E_ {0} ^ 2 + c ^ 2 F ^ 2 t ^ 2} \ sobre E_ {0}}. [/ matemáticas]

Entonces podemos escribir

[matemáticas] x (t) = {c p_ {0} \ sobre F} \ ln \ left [{cF \ over E_ {0}} t + w \ right] [/ math]

[matemáticas] y (t) = {E_ {0} \ sobre F} (w – 1) [/ matemáticas].

Por consiguiente,

[matemática] w (y) = 1 + {F \ sobre E_ {0}} y [/ matemática].

Ahora, para deshacerse de la t en el primer sumando en [] ‘s, exprese [math] t [/ math] en función de [math] w [/ math]; obtendrá alguna expresión para [math] t (w) [/ math], que será en términos de [math] w [/ math], por lo tanto, en términos de [math] y [/ math].

Answer 2

Bueno, es bastante obvio que si tienes un par de ecuaciones:

[matemáticas] x = X (t) [/ matemáticas]

[matemáticas] y = Y (t) [/ matemáticas]

puedes invertir la primera ecuación para obtener

[matemáticas] t = T (x) [/ matemáticas]

donde [matemáticas] T = X ^ {- 1} [/ matemáticas]

y entonces

[matemáticas] y = Y (T (x)) [/ matemáticas]

En general, es bastante desconsiderado no hacer una simplificación básica para hacer que la ecuación sea más reutilizable. En este caso tienes la forma funcional

[matemáticas] x (t) = \ log (t + \ sqrt {1 + t ^ 2}) [/ matemáticas]

Si conoce sus funciones trigonométricas hiperbólicas, entonces la fórmula anterior está gritando arcsinh, pero lo resolveremos rápidamente.

La fórmula para [math] y [/ math] es

[matemáticas] y (t) = \ sqrt {1 + t ^ 2} -1 [/ matemáticas]

Está bastante claro que

[matemáticas] \ exp (x) = t + \ sqrt {1 + t ^ 2} [/ matemáticas]

Podemos resolver para [matemáticas] t (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ exp (2x) – 2 \ exp (x) t + t ^ 2 = 1+ t ^ 2 [/ matemáticas]

entonces [matemáticas] t = \ sinh (x) [/ matemáticas]

lo que significa que

[matemáticas] y (x) = \ cosh (x) -1. [/ matemáticas]

Te dejaré resolver las constantes.

Answer 3

Finalmente resolví el problema, siguiendo los consejos de Jay Wacker y Alex Sadovsky, pero lo hice de manera ligeramente diferente. Primero creé la variable

[matemáticas] \ dfrac {cFt} {E_0} = \ tau [/ matemáticas]

por lo tanto, la primera ecuación da

[math] \ dfrac {Fx} {cp_0} = ln [\ tau + \ sqrt {1+ \ tau ^ 2}] = [/ math] [math] \ operatorname {arcsinh} [/ math] [math] \ tau [/matemáticas]

así [matemáticas] \ tau = \ sinh \ dfrac {Fx} {cp_0} [/ matemáticas]

y la segunda ecuación da

[matemáticas] y = \ dfrac {E_0} {F} \ left [\ sqrt {1 + \ tau ^ 2} -1 \ right] [/ math]

[matemáticas] \ sqrt {1 + \ sinh ^ 2 \ dfrac {Fx} {cp_0}} = \ sqrt {\ cosh ^ 2 \ dfrac {Fx} {cp_0}} = \ cosh \ dfrac {Fx} {cp_0} [ /matemáticas]

Y finalmente

[matemáticas] y = \ dfrac {E_0} {F} \ left [\ cosh \ dfrac {Fx} {cp_0} – 1 \ right] [/ math]

Gracias a los dos chicos.

Ooofff! ¡Eso fue duro! Debería haber estudiado más funciones hiperbólicas. Pensé que no eran tan importantes, solo eran una curiosidad. Ahora lo se mejor!

Las ecuaciones anteriores solo describen el movimiento de una partícula relativista en un acelerador de alta energía, si tiene curiosidad por saber de qué se trata. [matemática] E_0 [/ matemática] es la energía en reposo de la partícula, [matemática] F [/ matemática] la fuerza (considerada constante en este ejemplo), [matemática] p_0 [/ matemática] el momento cuando [matemática] t = 0, [/ matemática] [matemática] c [/ matemática] la velocidad de la luz.

Answer 4

la respuesta a esta pregunta debe ser [matemática] y (t) = \ frac {E_0} {F} cosh {\ frac {Fx} {cp_0}} – \ frac {E_0} {F} [/ math]

y la solución es la siguiente:

de la expresión de x (t) podemos escribir,

[matemática] \ frac {Fx} {cp_0} = sinh ^ {- 1} [\ frac {cFt} {E_0}] [/ matemática]; [matemática] [/ matemática] [matemática] [senh ^ {- 1} x = ln (x + \ sqrt {1 + x ^ 2}] [/ math]

[matemáticas] t = \ frac {E_0} {cF} .sinh [{\ frac {Fx} {cp_0}}] [/ matemáticas]

pon este valor de t en y (t) y luego obtendrás la respuesta

[matemáticas] y (t) = \ frac {1} {F} [E_0cosh {\ frac {Fx} {cp_0}} – E_0]; [1 + sinh ^ 2x = cosh ^ 2x] [/ matemáticas]

[matemáticas] y (t) = \ frac {E_0} {F} cosh {\ frac {Fx} {cp_0}} – \ frac {E_0} {F} [/ math]

NOTA: [math] sinhx = \ frac {e ^ xe ^ {- x}} {2} [/ math] y su función inversa es [math] sinh ^ {- 1} x = ln {(x + \ sqrt {x ^ 2 + 1)}} [/ matemáticas]

similar,

[matemática] coshx = \ frac {e ^ x + e ^ {- x}} {2} [/ matemática] y su función inversa es [matemática] cosh ^ {- 1} x = ln {(x + \ sqrt {x ^ 2–1)}} [/ matemáticas]