Como probar esto

Answer 1

Usemos una combinación de una transformación de Laplace, convolución y exageración para evaluar la función beta generalizada.

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Transformada de Laplace: defina [math] F (s) [/ math] para que sea la transformada de Laplace de [math] f (t) [/ math] de modo que tengamos

[matemática] \ displaystyle F (s) = \ mathcal {L} (f (t)) = \ int \ limits_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) \, dt \ tag * {}[/matemáticas]

La inversa de la cual, se llama la transformada inversa de Laplace y se denota como [math] \ mathcal {L} ^ {- 1} [/ math].

[matemáticas] \ displaystyle \ mathcal {L} (f (t)) = F (s) \ implica \ mathcal {L} ^ {- 1} (F (s)) = f (t) \ tag * {} [ /matemáticas]

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Convolución: definir la integral

[matemáticas] \ displaystyle (f * g) (t) = \ int \ limits_ {0} ^ {t} f (s) g (ts) \, dx \ tag * {} [/ matemáticas]

Entonces, tenemos eso

[matemáticas] \ displaystyle \ mathcal {L} ((f * g) (t)) = \ mathcal {L} (f (t)) \ mathcal {L} (g (t)) \ tag * {} [/ matemáticas]

Junto con la transformación de Laplace, es posible derivar su identidad.

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Comencemos con la función [matemáticas] f (x) = x ^ {a-1} [/ matemáticas]. Al realizar una transformación de Laplace en [matemáticas] f (x) [/ matemáticas], tenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} \ mathcal {L} \ left (x ^ {a-1} \ right) & = \ int \ limits_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- sx} x ^ {a-1} \, dx \\ & = s ^ {- a} \ int \ limits_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t} t ^ {a-1} \, dt \\ & = s ^ {- a} \ Gamma (a) \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Por lo tanto, multiplicando dos de las transformaciones juntas, tenemos que

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ Gamma (a) \ Gamma (b)} {s ^ {a + b}} = \ mathcal {L} \ left (x ^ {a-1} \ right) \ mathcal { L} \ left (x ^ {b-1} \ right) \ tag * {} [/ math]

Usando nuestra definición de la integral de convolución, vemos que el lado derecho se puede reescribir más sucintamente como

[matemática] \ displaystyle \ frac {\ Gamma (a) \ Gamma (b)} {s ^ {a + b}} = \ mathcal {L} \ left (\ int \ limits_ {0} ^ {x} s ^ {a-1} (xs) ^ {b-1} \, dx \ right) \ tag * {} [/ math]

Ahora podemos tomar el inverso. Obviamente, el lado derecho se evalúa como integral porque [math] \ mathcal {L} ^ {- 1} (\ mathcal {L} (f (t))) = f (t) [/ math]. El lado izquierdo requiere un poco de trabajo, pero tenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ mathcal {L} ^ {- 1} \ left (\ frac {\ Gamma (a) \ Gamma (b)} {s ^ {a + b}} \ right) = \ frac {\ Gamma (a) \ Gamma (b)} {\ Gamma (a + b)} x ^ {a + b-1} \ tag * {} [/ math]

que se puede verificar con bastante facilidad. Y así, nuestra identidad final sigue inmediatamente

[matemáticas] \ displaystyle \ large \ boxed {\ int \ limits_ {0} ^ {x} t ^ a (xt) ^ b \, dt = \ frac {\ Gamma (a + 1) \ Gamma (b + 1) } {\ Gamma (a + b + 2)} x ^ {a + b + 1}} \ tag * {} [/ math]

Answer 2

Otro problema interesante más. Hagamos esto usando la definición de la función beta. ¡Es hora de jugar!

Tenga en cuenta que los límites de integración cambian en consecuencia a medida que se realiza la sustitución. Y de ahí llegas a la respuesta. No hay mucho que hacer, excepto una sustitución trigonométrica simple y trivial y conocer la definición de la función beta.

¡¡Gracias!!

Answer 3

LHS [matemática] \ int_0 ^ ax ^ {\ alpha} (ax) ^ {\ beta} dx [/ matemática]

[matemática] = \ int_0 ^ ax ^ {\ alpha} \ cdot a ^ {\ beta} [1- \ dfrac {x} {a}] ^ {\ beta} dx… (1) [/ matemática]

Para encontrar esta integral, ponemos …

[matemáticas] \ dfrac {x} {a} = p [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow dx = adp [/ math]

Y [matemáticas] p \ rightarrow 0 ~ como ~ x \ rightarrow 0 ~ y ~ p \ rightarrow 1 ~ como ~ x \ rightarrow a [/ math]

Entonces (1) cambia a …

[matemáticas] \ int_0 ^ 1 (ap) ^ {\ alpha} \ cdot a ^ {\ beta} [1-p] ^ {\ beta} \ cdot adp [/ math]

[matemáticas] = a ^ {\ alpha + \ beta + 1} \ int_0 ^ 1p ^ {\ alpha} [1-p] ^ {\ beta} dp [/ matemáticas]

[matemáticas] = a ^ {\ alpha + \ beta + 1} \ int_0 ^ 1p ^ {(\ alpha + 1) -1} [1-p] ^ {(\ beta + 1) -1} dp [/ matemáticas]

[matemáticas] = B (\ alpha + 1, \ beta + 1) \ cdot a ^ {\ alpha + \ beta + 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {\ Gamma (\ alpha + 1) \ cdot \ Gamma (\ beta + 1)} {\ Gamma (\ alpha + \ beta + 2)} \ cdot a ^ {\ alpha + \ beta + 1} [/matemáticas]

[matemáticas] = RHS [/ matemáticas]

El problema está hecho …

Si me equivoco, por favor dime …

Answer 4

[matemáticas] \ begin {align} I & = \ int_0 ^ ax ^ {\ alpha} (ax) ^ {\ beta} \ mathrm dx \\ & = \ int_0 ^ aa ^ {\ beta} x ^ {\ alpha} \ left (1- \ dfrac xa \ right) ^ {\ beta} \ mathrm dx \\\ hline \ text {Let} & t = \ dfrac xa \ implica \ mathrm dt = \ dfrac 1a \ mathrm dx \\\ hline & = \ int_0 ^ 1 a ^ {\ beta} (at) ^ {\ alpha} (1-t) ^ {\ beta} \ cdot a \ mathrm dt \\ & = a ^ {\ alpha + \ beta + 1} \ int_0 ^ 1t ^ {(\ alpha + 1) -1} (1-t) ^ {(\ beta + 1) -1} \ mathrm dt \\ & = a ^ {\ alpha + \ beta + 1} B (\ alpha + 1, \ beta + 1) \\ & = \ dfrac {\ Gamma (\ alpha + 1) \ Gamma (\ beta + 1)} {\ Gamma (\ alpha + \ beta + 2)} a ^ {\ alpha + \ beta +1} \ end {align} \ tag * {} [/ math]