Pregunta original (que fue editada para corregir un error tipográfico): “¿Cómo se determina que [matemática] \ sin ^ 2 x – \ cos ^ 2 x = – \ cos (2x) [/ matemática] a mano?”
Las únicas dos identidades trigonométricas que recuerdo son la fórmula de Euler:
[matemáticas] e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x [/ matemáticas] (donde [matemáticas] i ^ 2 = -1 [/ matemáticas])
y el teorema de Pitágoras:
- ¿Cuál es el rango de [math] \ dfrac {1} {x ^ 2 + x} [/ math]?
- Dado f (x) = 2x-3x ^ 3 & g (x) = c, ¿qué es c para que el área entre f (x) y g (x) sea igual al área entre g (x) yf (x)?
- ¿Qué es [math] \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} \ frac {2 \ pi x} {\ infty} [/ math]?
- ¿Cómo es posible eliminar [matemáticas] t [/ matemáticas] en las ecuaciones paramétricas [matemáticas] x (t) = \ dfrac {cp_0} {F} \ ln \ left [\ dfrac {cF} {E_0} t + \ dfrac {\ sqrt {E_0 ^ 2 + c ^ 2F ^ 2t ^ 2}} {E_0} \ right] [/ math] y [math] y (t) = \ dfrac {1} {F} \ left (\ sqrt { E_0 ^ 2 + c ^ 2F ^ 2t ^ 2} -E_0 \ right) [/ math] y express [math] y [/ math] en función de [math] x [/ math]?
- Cómo resolver (3 ^ x) ^ x-1 = 64
[matemáticas] \ cos ^ 2 x + \ sin ^ 2 x = 1 [/ matemáticas]
Si me permites comenzar con eso, aquí vamos:
[matemáticas] \ cos (2x) + i \ sin (2x) [/ matemáticas]
[matemáticas] = e ^ {2ix} = \ left (e ^ {ix} \ right) ^ 2 [/ math]
[matemáticas] = \ izquierda (\ cos x + i \ sin x \ derecha) ^ 2 [/ matemáticas]
[math] = \ left (\ cos ^ 2 x – \ sin ^ 2 x \ right) + i \ left (2 \ sin x \ cos x \ right) [/ math]
Unir partes reales e imaginarias da:
[matemáticas] \ cos (2x) = \ cos ^ 2 x – \ sin ^ 2 x [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin (2x) = 2 \ sen x \ cos x [/ matemáticas]
El primero de ellos es esencialmente la identidad que deseas, después de un pequeño reordenamiento.
Tenga en cuenta que este es un procedimiento muy general, desde el cual puede probar casi todas las identidades trigonométricas que necesita: exprese la fórmula solo en términos de seno y coseno, y use la fórmula de Euler para expandir cualquier cosa que necesite expandirse.
¿Necesita, por ejemplo, saber [matemáticas] \ sin (a + b) [/ matemáticas]? Comience con esto:
[matemáticas] \ cos (a + b) + i \ sin (a + b) = e ^ {i (a + b)} = e ^ {ia} e ^ {ib} [/ matemáticas]
Ocasionalmente necesitará usar el teorema de Pitágoras para obtener la forma precisa que desea (por ejemplo, si necesita mostrar que [math] \ cos (2x) = 1 – 2 \ sin ^ 2 x [/ math]).
Ah, y aunque no los memorizo, hay un montón de identidades triviales que son obvias si sabes cómo son las gráficas de seno y coseno, como [matemáticas] \ sin (-x) = – \ sin x [/matemáticas].
