Cómo demostrar [matemáticas] x ^ 0 = 1 [/ matemáticas]

Answer 1

Si nos fijamos en

lim [matemáticas] (x → 0 ^ +) (a ^ x) [/ matemáticas]

y encuentre mecánicamente su valor evaluando [matemática] a ^ x [/ matemática] en puntos tan cercanos como desee a 0, y, para cualquier valor de a , el valor de la función se aproxima a 1. Esto tiene sentido. Esto se debe a que una constante elevada a un exponente p donde 0 < x <1, digamos x = 1 / n , es equivalente a tomar la enésima raíz de la constante. El valor de

lim ([matemáticas] x → 0 ^ +) (a ^ x) [/ matemáticas]

es igual a

lim ([matemática] n → ^ {∞ ^ {+}}) (n ^ {th} √a) [/ matemática]

… aquí me refiero a la enésima raíz de a . Para cualquier número entero a> 1 , cuando inserta a ^ p en su calculadora para valores de p cercanos a cero, donde p = 1 / ny n es 1000 o más, encontrará que el límite a medida que x se aproxima a cero desde a la derecha de [matemáticas] a ^ x [/ matemáticas] es 1.

Lo mismo con

[matemáticas] lim (n → ∞) (n ^ {th} √a) [/ matemáticas].

Esto tiene sentido porque lo que estamos haciendo cuando encontramos la raíz [matemática] n ^ {th} [/ matemática] de a , de nuevo con a> 1 , la estamos factorizando un número infinito de veces, y NO DEBEMOS factorizar ninguna números menores que uno, porque las operaciones repetidas conducen el valor de nuestras raíces y el valor de a a cero, comprometiendo así nuestra validez.

Por el contrario, si tenemos un valor de a que es menor que uno, y estamos tras una de sus raíces o si estamos tratando de encontrar el valor de esa fracción en la potencia de cero, NO DEBEMOS usar potencias de la fracción menos que su propio valor, pero solo valores entre él y 1. Por ejemplo, la raíz de 1/4 debe ser mayor que 1/4. De hecho, es 1/2, que es entre 1/4 y uno. Sus raíces tercera y cuarta serán aún mayores, pero aún menos de una.

Entonces, ahora, no nos confundamos aquí, nuestras x -es y a -s. Cuando a es mayor que cero pero menor que uno, y evaluamos su raíz, desde la derecha, o la elevamos a una potencia cercana a cero, tomamos la enésima raíz como x → ∞, donde x = 1 / ny n es 1000 o más, que es mayor que uno pero que se acerca, es de hecho uno debido a la explicación anterior.

lim [matemáticas] (x → 0 ^ +) (a ^ x) = 1. [/ matemáticas]

Cuando evaluamos [matemáticas] lim (x → 0⁻) {a ^ x} [/ matemáticas] cuando a es mayor que cero pero menor que uno, y evaluamos su raíz, desde la izquierda, o la elevamos a una potencia negativa cerca de cero, estamos tomando el recíproco de la raíz n como x → ∞ , que es mayor que uno pero que se aproxima, es de hecho uno debido a la explicación anterior.

[matemática] lim (x → 0⁻) (a ^ x) = 1. [/ matemática]

Para valores de x menores que cero, a medida que los valores de x se acercan a cero desde la izquierda, estamos elevando a al exponente x , yx es negativo. Aquí nuestro dominio es todos los números reales positivos para a .

Cuando a es mayor que -1 y menor que cero, y evaluamos su raíz desde la derecha, o la elevamos a una potencia cercana pero mayor que cero, tomamos la enésima raíz como x → ∞, y obtendremos un error. Esto se debe a que estamos tratando de sacar una raíz par de un valor negativo.

El límite de [matemáticas] 1 ^ x [/ matemáticas] a medida que x se acerca a 1 desde la izquierda y la derecha es igual a 1.

El lim ([matemáticas] x → 0 ^ +) (1 ^ x) = 1. [/ Matemáticas]

Así [matemáticas] 1 ^ 0 = 1 [/ matemáticas]

Con una calculadora, podemos ver que, para valores de x cercanos a cero

lim [matemáticas] (x → 0) (2 ^ x) = 1. [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemática] 2 ^ 0 = 1. [/ matemática]

Para todos los números reales positivos esto es válido.

Debido a que el límite de [matemáticas] a ^ x [/ matemáticas] a medida que x se aproxima a cero desde la izquierda y desde la derecha [matemáticas] [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] 1, [/ matemáticas] para todos los valores positivos de ay todos valores negativos de un elevado a una potencia que tiene un número impar en su denominador y la unidad en su numerador, es extremadamente probable que

lim [matemáticas] (x → 0) {a ^ x} = 1. [/ matemáticas]

Así,

lim ([matemática] a → 0) {x ^ a} = 1, [/ matemática]

y finalmente,

[matemáticas] x ^ 0 = 1. [/ matemáticas]

Answer 2

[matemática] x ^ 0 [/ matemática] significa [matemática] x [/ matemática] para la potencia de un número dividido por [matemática] x [/ matemática] para la potencia del mismo número. Una de las reglas de operaciones en exponentes es [matemática] x ^ p / x ^ q = x ^ {p – q} [/ matemática]. De acuerdo con esta regla [matemáticas] x ^ p / x ^ p = x ^ {p – p} = x ^ 0 [/ matemáticas]

Sabemos que cuando el denominador es igual al numerador en una fracción, la fracción es igual a ‘1’.

Entonces [matemáticas] x ^ p / x ^ p = 1 = x ^ {p – p} = x ^ 0 = 1 [/ matemáticas]

Answer 3

En los números naturales, si piensa en la exponenciación como una multiplicación repetida, puede demostrar que [matemáticas] x ^ 0 = 1 [/ matemáticas] para [matemáticas] x \ neq 0 [/ matemáticas]. Desafortunadamente, solo con esta definición, [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] podría tomar cualquier valor. Para “probar” [matemática] 0 ^ 0 = 1 [/ matemática], simplemente podría definirlo como el caso, o podría introducir requisitos adicionales para filtrar todas las posibilidades pero [matemática] 0 ^ 0 = 1. [/ matemáticas] (Ver más abajo)

Como te enseñaron en la escuela …

[matemáticas] x ^ 2 = x \ cdot x [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 = x \ cdot x \ cdot x = x ^ 2 \ cdot x [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 4 = x \ cdot x \ cdot x \ cdot x = x ^ 3 \ cdot x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ vdots [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ {n + 1} = x ^ n \ cdot x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ vdots [/ matemáticas]

Ahora, hay infinitas funciones en los números naturales que satisfacen estas condiciones. Curiosamente, cada una de estas funciones está de acuerdo con el valor de cada combinación de base y exponente, excepto [math] 0 ^ 0 [/ math]. Cualquier valor para [math] 0 ^ 0 [/ math] satisfaría estas condiciones solo.

Si desea [math] 0 ^ 0 = 1 [/ math], solo tendrá que agregar el requisito de que [math] x ^ a \ cdot x ^ b = x ^ {a + b} [/ math] para todos [ matemáticas] x, a, b \ en N [/ matemáticas]. Sin este requisito, sin embargo, todavía tendría [math] x ^ a \ cdot x ^ b = x ^ {a + b} [/ math], pero solo para todos [math] x \ neq 0. [/ Math]

Answer 4

Se define como 1 para mantener las propiedades de exponenciación para que sean consistentes. Por ejemplo, [matemática] x ^ 0 = x ^ {nn} = x ^ n / x ^ n = 1 [/ matemática] (cuando [matemática] x \ neq0 [/ matemática]).

[matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] es un caso especial. Puede considerarse como 1 o una expresión indeterminada. Ver Cero al poder de cero – Wikipedia.

Answer 5

Primero veamos algunos de los poderes de x:

[matemáticas] x ^ 1 = x [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 = x \ cdot x [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 = x \ cdot x \ cdot x [/ matemáticas]

Observe que, para cada potencia entera consecutiva, la base, x, se multiplica nuevamente, por lo tanto, sabemos que para todos los valores enteros, [matemática] x ^ {n-1} = \ frac {x ^ n} {x} \ forall n \ in \ mathbb {Z} [/ math]

Al usar esto, obtenemos [matemáticas] x ^ {1-1} = x ^ 0 = \ frac {x ^ 1} {x} = \ frac {x} {x} = 1 [/ matemáticas]

Answer 6

Para probar X ^ 0 = 1.

Considere que m es un número entero.

Podemos escribir X ^ 0 como X ^ (mm)

=> X ^ (mm) = (X ^ m) / (X ^ m) – {según la propiedad X ^ a / X ^ b = X ^ (ab) y viceversa.}

=> (X ^ m) / (X ^ m) = 1 – {según la propiedad a / a = 1.}

Por lo tanto resultó X ^ 0 = 1.

Espero haber respondido su consulta correctamente.

Gracias 🙂

Answer 7

Deje a = cualquier número real.

a = 0 + a

Si x> 0 entonces:

x ^ a = x ^ (0 + a) = x ^ 0 * x ^ a

Pero, el elemento de identidad para la multiplicación es 1 .

Por lo tanto x ^ 0 = 1

Si x = 0 entonces:

0 ^ a = 0 ^ 0 * 0 ^ ao

0 = 0 ^ 0 * 0 , que se cumple para 0 ^ 0 siendo cualquier número, y no solo 1 .

Answer 8

Básicamente, en el momento en que acordamos que [math] x ^ 0 [/ math] es una expresión válida, nos enfrentamos al problema de asignarle un número real.

Mirando [matemáticas] x ^ 0 = x ^ {0 + 0} = x ^ 0 x ^ 0 = 1 x ^ 0 [/ matemáticas], ahora, también podríamos definir [matemáticas] x ^ 0 = 1 [/ matemáticas] por mera conjetura.

Answer 9

Aquí está la prueba más simple que se me ocurre:

Si tenemos una expresión en la forma [math] \ frac {{x} ^ {a}} {{x} ^ {a}} [/ math], entonces eso es equivalente a [math] 1 [/ math], ya que cualquier cosa dividida por sí misma es [matemáticas] 1 [/ matemáticas].

Sin embargo, también podemos usar la propiedad de división de exponentes para escribir la expresión como [math] {x} ^ {a – a} [/ math], que es [math] {x} ^ {0} [/ math].

Como también establecimos que la expresión original es equivalente a [math] 1 [/ math], podemos decir que [math] {x} ^ {0} = 1 [/ math].

Espero que esto ayude.

Answer 10

Supongamos que x pertenece a R yx> 0. Tenemos que demostrar que x ^ (1 / n) tiende a 1 cuando n tiende a infinito. Supongamos que x> 1 yx ^ (1 / n) = 1 + d para algunos d> 0. Por la desigualdad de Bernoulli, (1 + d) ^ n> 1 + nd> nd. Lo que implica que 0

Si 0

Ahora no debe haber ningún problema para hacer lo mismo cuando x <0.

Answer 11

De aquí es fácil derivar la explicación de por qué cualquier número distinto de cero elevado a la potencia cero es igual a 1. Veamos un ejemplo concreto.

Sabemos que cualquier número distinto de cero dividido por sí mismo es igual a 1 . Entonces puedo escribir lo siguiente:

• 2/2 = 1

Esto es lo mismo que escribir:

• 2 ^ 1/2 ^ 1 = 1

Ahora utilizaré la regla del exponente desde arriba para reescribir el lado izquierdo de esta ecuación.

• 2 ^ (1–1) = 1

Por supuesto, esto es equivalente a:

• 2 ^ 0 = 1

Podemos usar el mismo proceso que en este ejemplo, junto con la regla generalizada anterior, para mostrar que cualquier número real distinto de cero elevado a la potencia cero debe dar como resultado 1.

Answer 12

Primero suponga que a> 0 y demuestre que la raíz enésima de a converge a 1. Es un pequeño ejercicio en la expansión binomial y trabajar con límites. Lo tengo en formato pdf pero no sé cómo subirlo.

Answer 13

Podemos usar reglas de exponente para reescribir x ^ 0 como x ^ (1–1). Una vez más podemos reescribir esto como x / x mediante reglas de exponente. Esta expresión es claramente igual 1.

Answer 14

Toma la expresión x ^ n

X ^ n-1 = x ^ n / x

Sea n = 1, x ^ 0 = x / x = 1