¿Qué es la ecuación cuadrática?

Answer 1

La ecuación cuadrática general es

[matemáticas] \ displaystyle ax ^ 2 + bx + c = 0 \ tag {1} [/ matemáticas]

Aquí [math] x [/ math] representa un desconocido, mientras que [math] a, b, [/ math] y [math] c [/ math] son ​​constantes con [math] a \ neq0 [/ math].

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Método 1 :

Larry Hoehn en 1975, completar el cuadrado se puede lograr mediante una secuencia diferente que conduce a una secuencia más simple de términos intermedios: (1) multiplique cada lado por [matemáticas] 4a [/ matemáticas], (2) reorganice, (3) luego agregar [matemáticas] b ^ 2 [/ matemáticas].

En otras palabras, la fórmula cuadrática se puede derivar de la siguiente manera:

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} ax ^ 2 + bx + c & = 0 \\ 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac & = 0 \\ 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + b ^ 2 & = b ^ 2-4ac \\ (2ax + b) ^ 2 & = b ^ 2-4ac \\ 2ax + b & = \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac} \\ 2ax & = -b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac} \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Dividiendo por [matemáticas] 2a [/ matemáticas], obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} \ tag * {} [/ matemáticas]

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Método 2:

El matemático Sridhar Acharya también resolvió la ecuación.

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} ax ^ 2 + bx & = -c \\ x ^ 2 + \ frac bax & = – \ frac ca \\ x ^ 2 + \ frac bax + \ left (\ frac b {2a} \ right) ^ 2 & = \ left (\ frac b {2a} \ right) ^ 2- \ frac ca \\\ left (x + \ frac ba \ right) ^ 2 & = \ frac {b ^ 2 } {4a ^ 2} – \ frac ca \\ x + \ frac ba & = \ pm \ sqrt {\ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} – \ frac ca} \ end {align *} \ tag * { }[/matemáticas]

Aislando [math] x [/ math], obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} \ tag * {} [/ matemáticas]

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Método 3:

[matemáticas] \ displaystyle ax ^ 2 + bx + c = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

vamos, las raíces de la cuadrática son [matemáticas] \ alpha [/ matemáticas] y [matemáticas] \ beta [/ matemáticas].

Entonces,

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} & (x- \ alpha) (x- \ beta) = 0 \\ & \ implica x ^ 2 – (\ alpha + \ beta) x + \ alpha \ beta = 0 \ end {alinear *} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Comparando ambas ecuaciones, [math] \ alpha + \ beta = -b / a [/ math] y [math] \ alpha \ beta = c / a [/ math]. Entonces,

[matemáticas] \ displaystyle \ alpha- \ beta = \ sqrt {\ frac {b ^ 2} {a ^ 2} – \ frac {4c} a} = \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} a \ etiqueta * {} [/ math]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} & \ alpha = – \ frac b {2a} + \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} \\ & \ beta = – \ frac b { 2a} – \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Cada una de las soluciones dadas por la fórmula cuadrática se llama raíz de la ecuación cuadrática. Geométricamente, estas raíces representan los valores de x en los cuales cualquier parábola , dada explícitamente como y = ax2 + bx + c, cruza el eje x. Además de ser una fórmula que producirá los ceros de cualquier parábola, la ecuación cuadrática dará el eje de simetría de la parábola, y se puede usar para determinar de inmediato cuántos ceros tiene.

El discriminante (da información sobre la naturaleza de sus raíces )

D = b ^ 2 -4 * a * c

si D> 0; entonces dos raíces reales distintas

si D = 0; entonces las raíces son iguales, lo que significa dos raíces reales coincidentes x1 = x2 = -b / 2a

si D <0; dos raíces complejas distintas

Para más consulta:

Fórmula cuadrática – Wikipedia

http://animated-mathematics.net/…

Answer 2

Ecuación cuadrática: una ecuación polinómica de segundo orden con una variable.

Ax ^ 2 + Bx + C = 0

Aquí los términos A, B y C son constantes y X es variable.

Una ecuación con un término de segundo orden como este Ax ^ 2 aparece como una parábola. Los valores X se llaman raíces.

Si el valor de A es positivo, la gráfica de la parábola es cóncava hacia arriba (punto mínimo), si A es negativa, es cóncava hacia abajo (punto máximo)

La parábola tiene un vértice en {-B / 2A, P (-B / 2A)}

La ecuación cuadrática se usa para resolver X.

X = [-B + o – raíz cuadrada (B ^ 2 -4AC)] / 2A

donde A no es igual a 0.

La parte de la ecuación debajo de la raíz cuadrada B ^ 2 – 4AC se llama descriminante y su resultado nos dice el número de soluciones.

X <0 o negativo significa dos soluciones que son complejas e imaginarias.

X> 0 o positivo significa dos soluciones complejas y reales.

X = 0 una solución doble compleja y real

Las ecuaciones cuadráticas también se modifican mediante un método conocido como completar el cuadrado.

Para hacer esto, divida ambos lados de la ecuación A para que X ^ 2 sea uno.

Agregue (B / 2A) ^ 2 a cada lado de la ecuación.

Factoriza el lado derecho y combina términos similares en el lado izquierdo de la ecuación.

Multiplica cada lado por A.

P (x) = Ax ^ 2 + Bx + C

ex. 2x ^ 2 + 4x – 16

P (x) / 2 = x ^ 2 + 2 x – 8

P (x) / 2 + 8 = x ^ 2 + 2x

P (x) / 2 + 8 + 1 = x ^ 2 + 2x + 1

P (x) / 2

la ecuación cuadrática se usa cuando completar el cuadrado no se puede factorizar.

Answer 3

Una ecuación cuadrática es cualquier polinomio con un grado (máximo exponente) de [math] 2 [/ math], y que tiene la forma:

[matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas]

la fórmula cuadrática es esa misma ecuación, con [matemáticas] x [/ matemáticas] como sujeto:

[matemáticas] x = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ matemáticas]

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La fórmula se puede derivar de la siguiente manera:

[matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] = a (x + \ frac {b} {2a}) ^ 2+ (ca (\ frac {b} {2a}) ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica a (x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 = a (\ frac {b ^ 2} {(2a) ^ 2}) – c = \ frac {ab ^ 2} {4a ^ 2} -c = \ frac {b ^ 2} {4a} – \ frac {4ac} {4a} = \ frac {b ^ 2-4ac} {4a} [/ math]

[matemáticas] \ implica (x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 = \ frac {b ^ 2-4ac} {4a ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x + \ frac {b} {2a} = \ sqrt {\ frac {b ^ 2-4ac} {4a ^ 2}} = \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {\ sqrt {4a ^ 2}} = \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ math]

[matemáticas] \ implica x = \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} – \ frac {b} {2a} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ matemáticas]

Answer 4

Una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica de segundo orden en una sola variable.

con . Debido a que es una ecuación polinómica de segundo orden, el teorema fundamental del álgebra garantiza que tiene dos soluciones. Estas soluciones pueden ser tanto reales como complejas.

el siguiente enlace muestra algunos ejemplos, espero que esto ayude:

Ecuaciones cuadráticas – Álgebra – Notas de clase

Answer 5

Supongo que tienes una formación básica en álgebra. En la escuela aprendiste a resolver ecuaciones muy simples como:

[matemáticas] 2x + 4 = 3 [/ matemáticas]

Este tipo de ecuación, que contiene exclusivamente variables con un exponente de 1, se llama lineal .

Pero, ¿qué pasa si arrojas un exponente más grande, como 2?

[matemáticas] 2x ^ 2 + 4 = 3 [/ matemáticas]

Este tipo de ecuación, que contiene una x al cuadrado, se llama cuadrática . De manera más general (y menos intuitiva, supongo), puede decir que una ecuación es cuadrática si puede simplificarla a:

[matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas]

Sus soluciones reales se pueden calcular fácilmente:

[matemáticas] x_ {1,2} = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ matemáticas]

Answer 6

Una declaración, en la forma reducida más general:

[matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = 0 \ mid a, b, c \ in \ mathbb {R \ text {o} C} [/ math]

Y la tarea es encontrar [math] 2 [/ math] (en [math] \ mathbb C [/ math] tiene garantizado dos valores, en [math] \ mathbb R [/ math] puede tener solo uno o sin valor, pero la mayoría de las veces también tendrá dos valores) valores que hacen que esta ecuación sea verdadera.

Ahora todo se puede resolver usando uno de los dos formales

[matemáticas] x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ matemáticas]

o en el caso especial donde [matemática] a = 1 [/ matemática] [matemática] b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] se denominan [matemática] p [/ matemática] y [matemática] q [/ matemáticas]

y el forumla se modifica ligeramente ya que [math] 1 [/ math] está conectado para [math] a [/ math]:

[matemáticas] x = \ frac {-p} {2} \ pm \ sqrt {\ frac {p ^ 2} {4} -q} [/ matemáticas]

Prueba: [matemáticas] \ frac {-p \ pm \ sqrt {p ^ 2-4q}} {2} = \ frac {-p} {2} \ pm \ frac {\ sqrt {p ^ 2-4q}} {2} = \ frac {-p} {2} \ pm \ sqrt {\ frac {p ^ 2-4q} {4}} = \ frac {-p} {2} \ pm \ sqrt {\ frac {p ^ 2} {4} -q} [/ matemáticas]

¿De dónde viene esto?

Bien:

[matemáticas] (a \ pm b) ^ 2 = a ^ 2 \ pm 2ab + b ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] x ^ 2 + px = \ left (x + \ frac {p} {2} \ right) ^ 2- \ frac {p ^ 2} {4} [/ math]

Entonces [matemáticas] x ^ 2 + px + q = 0 [/ matemáticas]

se convierte en [matemática] \ izquierda (x + \ frac {p} {2} \ derecha) ^ 2- \ frac {p ^ 2} {4} + q = 0 [/ matemática] (no importa si [matemática] p [/ math] o [math] q [/ math] son ​​negativos).

[matemáticas] \ left (x + \ frac {p} {2} \ right) ^ 2 = \ frac {p ^ 2} {4} -q \ mid \ sqrt {} [/ math]

[matemáticas] x + \ frac {p} {2} = \ pm \ sqrt {\ frac {p ^ 2} {4} -q} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = – \ frac {p} {2} \ pm \ sqrt {\ frac {p ^ 2} {4} -q} [/ matemáticas]

También puede hacer toda la transformación con [math] ax ^ 2 + bx = \ left (\ sqrt {a} x + \ overbrace {\ frac {b \ cdot \ sqrt {a}} {2a}} ^ {\ small = \ frac {b} {2 \ cdot \ sqrt {a}}} \ right) ^ 2- \ frac {b ^ 2a} {4a ^ 2} [/ math]

pero es más fácil también dividir entre [matemáticas] a [/ matemáticas] primero.

Vea cómo los valores de a, b, c afectan el gráfico, vea aquí.

Answer 7

Una ecuación polinómica de segundo grado. Tiene la forma
donde a, b, c son constantes yx es una variable

Las raíces de una ecuación cuadrática se pueden encontrar por
revise el wiki para una vista e historia más profundas
Ecuación cuadrática

Answer 8

La fórmula cuadrática: para ax 2 + bx + c = 0, los valores de x que son las soluciones de la ecuación están dados por:

[matemáticas] x = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac \,}} {2a} [/ matemáticas] x = 2a − b ± b2−4ac

Gracias

Answer 9

Ecuaciones algebraicas con un grado de 2.

Algunos ejemplos: 2x ^ 2 + 5x-1 = 0, x ^ 2–9 = 3

Puede usar 3 métodos para calcular estas ecuaciones:

1. Factorización
2. Fórmula cuadrática
3. Completando el cuadrado

Answer 10

Una ecuación cuadrática es un polinomio de grado 2 (la potencia más alta de [matemáticas] x [/ matemáticas] es 2) que se establece igual a cero. Se puede escribir de 3 formas diferentes:

1. [matemáticas] a (x- \ alpha) (x- \ beta) = 0 [/ matemáticas]
2. [matemáticas] a (xp) ^ 2 + q = 0 [/ matemáticas]
3. [matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas]

Puede tener 0, 1 o 2 soluciones reales dependiendo de si la gráfica de la función cuadrática ([matemática] y = ax ^ 2 + bx + c [/ matemática]) toca o se cruza con el eje x o no.

En el primer caso, las soluciones son [matemáticas] x = \ alpha [/ matemáticas] o [matemáticas] x = \ beta [/ matemáticas]. Si no existe una solución real, tampoco existe un valor real de [math] \ alpha [/ math] o [math] \ beta [/ math] y la ecuación cuadrática no se puede escribir de esta forma. Si [math] \ alpha = \ beta [/ math] entonces el gráfico toca el eje x y solo existe 1 solución (con una multiplicidad de 2).

En el segundo caso, la solución es [matemática] x = p \ pm \ sqrt {- \ dfrac {q} {a}} [/ matemática]. No existe una solución real si [matemática] \ frac {q} {a}> 0 [/ matemática] y solo existe una solución si [matemática] q = 0 [/ matemática].

En el tercer caso, la solución es [matemáticas] x = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2–4ac}} {2a} [/ matemáticas].

[math] b ^ 2–4ac [/ math] se conoce como “discriminante” y generalmente se denota por [math] \ triangle [/ math]. si [matemática] \ triangle <0 [/ matemática] entonces no existe una solución real y si [matemática] \ triangular = 0 [/ matemática] entonces solo existe 1 solución.

Answer 11

Una ecuación cuadrática es de la forma

[matemáticas] ax ^ {2} + bx + c = 0 \ tag1 [/ matemáticas]

donde [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] son ​​coeficientes y [matemática] x [/ matemática] es la variable bajo consideración. Generalmente hay dos valores para [math] x [/ math] que satisfacen (1) pero pueden surgir otras posibilidades.

Si bien las ecuaciones cuadráticas son interesantes por derecho propio, ya que pueden usarse para introducir el estudio de un sistema numérico más general, aparecen en todo el mundo real en áreas como la mecánica y la luz. Vea ejemplos de la respuesta de John Gilmore a ¿Cuáles son las diferentes ¿Cómo se usa una ecuación cuadrática en la vida real?

Resolver (1) es una técnica matemática bien conocida. Vea algunos antecedentes de esta respuesta de John Gilmore a ¿Cómo se deriva el discriminante de una fórmula cuadrática?

Answer 12

La ecuación cuadrática es:

y = Ax ^ 2 + Bx + C (en forma estándar)

y = a (x – h) ^ 2 + k (en forma de vértice)

La fórmula cuadrática es:

donde x representa las raíces de la gráfica.

Answer 13

Comencemos con simple. Después de que haya dejado de crecer, su altura es constante, por ejemplo h = 172 cm, esta es una ecuación que es constante. El siguiente nivel de complejidad es una línea recta, por ejemplo, un automóvil que se mueve a velocidad constante; trazas la distancia contra el tiempo, obtienes una línea recta. Lanza una pelota al aire o dispara una flecha. Puede trazar la altura contra el tiempo y trazará una función cuadrática.

Answer 14

Una ecuación cuadrática es una ecuación en la cual la variable tiene el poder de 2.

Por ejemplo, 3x ^ 2 + 5x – 7 = 0 es una ecuación cuadrática porque la variable (aquí x) tiene la potencia 2.

Si tomamos la variable como x, entonces cada ecuación de la forma ax ^ 2 + bx + c = 0 es una ecuación cuadrática.

Answer 15

Answer 16

Una ecuación cuadrática es cualquier ecuación que involucra una variable que se eleva a una potencia de 2. Por ejemplo: x ^ 2 +3.