¿Alguien puede ayudarme a entender la razón intuitiva por la cual dos tiene la única raíz extraída donde [matemáticas] \ displaystyle \ ln {\ left [\ left (e ^ {\ sqrt {2}} / e \ right) ^ {\ sqrt {2 }} \ right]} = \ frac {1} {\ frac {1} {\ sqrt {2}} + 1} [/ math]?

Answer 1

¿Intuitivo? ¿Qué esperas exactamente aquí? Esa ecuación es un desastre. No hay nada intuitivo al respecto. Te lo prometo, no existe una analogía del mundo real que puedas establecer que haga obvia esa ecuación. Ahora, si me permite usar un poco de magia matemática para reducir eso:

[matemáticas] \ ln \ left [\ left (e ^ {\ sqrt2} / e \ right) ^ {\ sqrt2} \ right] = [/ math]

[matemáticas] \ ln \ left [\ left (e ^ {\ sqrt2 – 1} \ right) ^ {\ sqrt2} \ right] = [/ math]

[matemáticas] \ ln \ left [e ^ {2 – \ sqrt2} \ right] = [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 – \ sqrt2 [/ matemáticas]

Esa es una versión mucho más accesible de la vista izquierda de la ecuación. Ahora por la derecha.

[matemáticas] \ frac {1} {\ frac {1} {\ sqrt2} + 1} = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1 \ left (1 – \ frac {1} {\ sqrt2} \ right)} {\ left (1 + \ frac {1} {\ sqrt2} \ right) \ left (1 – \ frac {1} {\ sqrt2} \ right)} = [/ math]

[matemáticas] \ frac {1 – \ frac {1} {\ sqrt2}} {1 ^ 2 – \ left (\ frac {1} {\ sqrt2} \ right) ^ 2} = [/ math]

[matemáticas] \ frac {1 – \ frac {1} {\ sqrt2}} {1 – \ frac12} = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1 – \ frac {1} {\ sqrt2}} {\ frac12} = [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 \ left (1 – \ frac {1} {\ sqrt2} \ right) = [/ math]

[matemáticas] 2 – \ frac {2} {\ sqrt2} = [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 – \ sqrt2 [/ matemáticas]

Entonces nuestra nueva ecuación simplificada se parece a

[matemáticas] 2 – \ sqrt2 = 2 – \ sqrt2 [/ matemáticas]

Lo cual debería ser bastante intuitivo sin necesidad de ninguna explicación. Por eso tenemos matemáticas.

Answer 2

Reemplacemos [math] \ sqrt {2} [/ math] por [math] \ sqrt {n} [/ math] como creo que está preguntando:

[matemáticas] \ ln (e ^ {\ sqrt {n} -1}) ^ \ sqrt {n} = \ ln e ^ {n – \ sqrt {n}} = n – \ sqrt {n} [/ matemáticas] (para [matemáticas] n [/ matemáticas] positivo)

Nada misterioso en ese lado de la ecuación.

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {\ frac {1} {\ sqrt {n}} + 1} = \ frac {\ sqrt {n}} {\ sqrt {n} +1} = \ frac {\ sqrt {n} (\ sqrt {n} -1)} {n ^ 2-1} = \ frac {n – \ sqrt {n}} {n ^ 2 – 1} [/ math]

Entonces, la razón [math] \ sqrt {2} [/ math] es única es que es el único valor positivo por el cual el denominador desaparece. Es decir, es la solución a [matemáticas] n ^ 2 – 1 = 1 [/ matemáticas].

Answer 3

((e ^ raíz 2) / e) ^ raíz 2 = (e ^ ((raíz 2) -1)) ^ raíz 2

= e ^ (2-raíz2)

Ahora simplifiquemos 1 / ((1 / root 2) +1)

1 / ((raíz 2 + 1) / raíz 2)

raíz 2 / (raíz 2 + 1)

raíz 2 (raíz2-1) / (2–1)

= 2 – raíz 2

Así que ahora solo tenemos que mostrar ln e ^ (2-root2 2) = 2-root2 2, lo que la definición de ln ya hace.