¿Por qué es [math] \ cos {(- x)} = \ cos {x} [/ math] y [math] \ sin {(- x)} = – \ sin {x} [/ math]?

Answer 1

Digamos que tenemos una función [math] f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math] tal que [math] f (-x) = f (x) [/ math] luego decimos que [matemáticas] f [/ matemáticas] es una función par. Si graficara esta función, el eje y parecería un espejo.

Ahora supongamos que tenemos una función [math] g: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math] tal que [math] g (-x) = – g (x) [/ math] entonces nosotros digamos que [math] g [/ math] es una función extraña. Si grafica esta función, el lado izquierdo del eje y parece que el lado derecho ha sido girado en sentido antihorario por [math] 180 ° [/ math].

Si observa el gráfico de [math] \ cos [/ math], verá que se ajusta a la descripción de una función par. Entonces, uno esperaría que [math] \ cos (-x) = \ cos (x) [/ math]

Obtenemos algo similar para [math] \ sin [/ math]. Su gráfico se ajusta a la descripción de una función impar. Entonces, obtenemos que [math] \ sin (-x) = – \ sin (x) [/ math].

Answer 2

Es exactamente cómo funciona esta naturaleza.

En matemática teórica y matemática aplicada (como la física), a menudo encontraremos patrones de cambios como ese. Eso no es por qué. Pero, cada regla matemática debe apoyarse entre sí (en otras palabras, debe tener una consistencia perfecta inimaginable).

Es importante tener en cuenta que las ondas cosenoidales (simétricas) y las ondas sinusoidales (antisimétricas) funcionan de manera diferente. Tienen orígenes diferentes. Como tal, se desempeñan de manera diferente.

Lamento que esto no ayude en el estudio de las matemáticas, pero es importante que nos demos cuenta ya que esta es una filosofía fundamental de las matemáticas. Lo siento si quieres rechazar mi respuesta.

Answer 3

La respuesta más fácil es: porque la definición. Estas funciones se definen para tener estas propiedades. Pero mira lo que significa cos y pecado:

Pero mira esto. Si [math] \ theta [/ math] sería negativo, el triángulo estaría boca abajo, pero [math] \ cos (\ theta) [/ math] sigue siendo el mismo. ¿Pero qué pasa con [matemáticas] \ sin [/ matemáticas]? Así es, se voltea.

Answer 4

Digamos que todo lo que sabemos es que la Fórmula de Euler nos da la parte real llamada coseno y la parte imaginaria llamada seno del exponencial imaginario:

[matemáticas] e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x [/ matemáticas]

Podemos tomar el conjugado de ambos lados sustituyendo [math] -i [/ math] por [math] i. [/ Math] El conjugado de [math] x [/ math] es en sí mismo porque estamos asumiendo [math] x [/ math] es real.

[matemáticas] e ^ {- ix} = \ cos x – i \ sin x [/ matemáticas]

Podemos obtener el mismo exponencial imaginario a la izquierda si consideramos lo que sucede en el ángulo [math] -x. [/ Math]

[matemáticas] e ^ {- ix} = \ cos (-x) + i \ sin (-x) [/ matemáticas]

Poniendo esos juntos,

[matemáticas] \ cos (-x) + i \ sin (-x) = \ cos x – i \ sin x [/ matemáticas]

Equiparar las respectivas partes reales e imaginarias,

[matemáticas] \ cos (-x) = \ cos x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin (-x) = – \ sin x [/ matemáticas]

Answer 5

Le recomiendo que vea un breve video de 4 minutos que hice sobre este tema.

http://screencast.com/t/iQeIn5VFtr2

También para obtener más información también presentada de una manera muy clara y comprensible, vea uno de mis sitios web llamado: http://trigometer.weebly.com

Answer 6

Este es el famoso ‘Unit Circle’ …

Para un ángulo en este círculo, el punto de la función coseno es decirle qué tan lejos a través de este diagrama ha viajado (es decir, en la dirección este-oeste)

El propósito de la función seno es decirle qué tan verticalmente ha ido (es decir, norte – sur)

Para los matemáticos, todos los ángulos se miden en sentido antihorario desde el eje x positivo (es decir , la posición de las tres en punto )

Entonces puede ver que 30 y -30 están igualmente lejos al oeste, al igual que 110 y -110, y 145 y -145. Entonces cos (-x) = cos (x)

Pero todos los ángulos positivos están al norte del ecuador, mientras que todos los ángulos negativos están exactamente a la misma distancia al sur. Entonces sin (-x) = -sin (x)

Answer 7

Si se refiere al círculo unitario, sabe que el coseno es el valor x de un punto en el círculo. En un gráfico sinusoidal, es una función par (si se desplaza 1 unidad hacia arriba, nunca iría por debajo de cero, y su línea de simetría sería el eje y), por lo que el coseno -pi / 2 radianes tiene el valor exacto de Sam. Pero con sinx es una función extraña, por lo que los valores serían exactamente opuestos entre sí.

Answer 8

Ha habido muchas buenas respuestas geométricas hasta ahora. Aquí hay uno más analítico:

sin (-x) = sin (0 – x) = sin (0) cos (x) – cos (0) sin (x) = 0 * cos (x) – 1 * sin (x) = -sin (x)

Haga lo mismo con la fórmula de diferencia de coseno y obtendrá la fórmula de coseno.

Answer 9

cos es una función par y sin es una función impar