Si [math] a, b, c, d [/ math] son ​​números reales positivos y [math] ab + bc + cd + da = 1 [/ math], ¿cuál es el valor mínimo de [math] \ frac {a ^ 3} {b + c + d} + \ frac {b ^ 3} {a + c + d} + \ frac {c ^ 3} {a + b + d} + \ frac {d ^ 3} {a + b + c} [/ matemáticas]?

Answer 1

Un enfoque que se puede usar aquí es usar la famosa y conocida desigualdad debida a Cauchy y Schwarz, que establece

[matemáticas] \ left (\ sum_ {i = 1} ^ {n} u_ {i} v_ {i} \ right) ^ {2} \ le \ sum_ {i = 1} ^ {n} u_ {i} ^ {2} \ sum_ {i = 1} ^ {n} v_ {i} ^ {2} \ tag {1} [/ math]

Entonces, para emplear la desigualdad, considere

[matemáticas] \ begin {align *} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2}) ^ {2} & = a ^ {2} \ sqrt {\ dfrac {a (b + c + d)} {a (b + c + d)}} + b ^ {2} \ sqrt {\ dfrac {b (a + c + d)} {b (a + c + d )}} + c ^ {2} \ sqrt {\ dfrac {c (a + b + d)} {c (a + b + d)}} + d ^ {2} \ sqrt {\ dfrac {d (a + b + c)} {d (a + b + c)}} \\ & = \ dfrac {a ^ {\ frac {3} {2}}} {\ sqrt {b + c + d}} \ sqrt {a (b + c + d)} + \ dfrac {b ^ {\ frac {3} {2}}} {\ sqrt {a + c + d}} \ sqrt {b (a + c + d)} + \ dfrac {c ^ {\ frac {3} {2}}} {\ sqrt {a + b + d}} \ sqrt {c (a + b + d)} + \ dfrac {d ^ {\ frac { 3} {2}}} {\ sqrt {a + b + c}} \ sqrt {d (a + b + c)} \\ & \ le \ left (\ dfrac {a ^ {3}} {b + c + d} + \ dfrac {b ^ {3}} {a + c + d} + \ dfrac {c ^ {3}} {a + b + d} + \ dfrac {d ^ {3}} {a + b + c} \ right) \ left (a (b + c + d) + b (a + c + d) + c (a + b + d) + d (a + b + c) \ right) \ etiqueta {1} \ end {align *} [/ math]

De (1) ahora tenemos

[matemáticas] \ dfrac {a ^ {3}} {b + c + d} + \ dfrac {b ^ {3}} {a + c + d} + \ dfrac {c ^ {3}} {a + b + d} + \ dfrac {d ^ {3}} {a + b + c} \ ge \ dfrac {(a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2}) ^ {2}} {2 (ab + ac + ad + bc + bd + cd)} \ tag {2} [/ math]

Ahora aplicando [math] ab + bc + cd + da = 1 [/ math] a (2):

[matemáticas] \ dfrac {a ^ {3}} {b + c + d} + \ dfrac {b ^ {3}} {a + c + d} + \ dfrac {c ^ {3}} {a + b + d} + \ dfrac {d ^ {3}} {a + b + c} \ ge \ dfrac {(a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2}) ^ {2}} {2 (1 + ac + bd)} \ tag {3} [/ math]

Ahora, si consideramos la desigualdad de Newton, tenemos

[matemáticas] \ dfrac {a + b + c + d} {4} \ ge \ sqrt {\ dfrac {ab + ac + ad + bc + bd + cd} {6}} \ tag {4} [/ matemáticas]

Aplicando [math] ab + bc + cd + da = 1 [/ math] a (4):

[matemáticas] \ dfrac {a + b + c + d} {4} \ ge \ sqrt {\ dfrac {1 + ac + bd} {6}} \ tag {5} [/ matemáticas]

y (5) produce

[matemáticas] \ dfrac {6} {16} (a + b + c + d) ^ {2} \ ge 1 + ac + bd \ tag {6} [/ matemáticas]

Combinando (6) y (3):

[matemáticas] \ dfrac {a ^ {3}} {b + c + d} + \ dfrac {b ^ {3}} {a + c + d} + \ dfrac {c ^ {3}} {a + b + d} + \ dfrac {d ^ {3}} {a + b + c} \ ge \ dfrac {4} {3} \ dfrac {(a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2 } + d ^ {2}) ^ {2}} {(a + b + c + d) ^ {2}} \ tag {7} [/ matemáticas]

Ahora considera

[matemáticas] \ begin {align *} (a + b + c + d) ^ {2} & = (1 \ times a + 1 \ times b + 1 \ times c + 1 \ times d) ^ {2} \ \ & \ le (1 ^ {2} + 1 ^ {2} + 1 ^ {2} + 1 ^ {2}) (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2}) \\ & \ le 4 (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2}) \ tag {8} \ end {align *} [/ math]

Combina (8) con (7):

[matemáticas] \ dfrac {a ^ {3}} {b + c + d} + \ dfrac {b ^ {3}} {a + c + d} + \ dfrac {c ^ {3}} {a + b + d} + \ dfrac {d ^ {3}} {a + b + c} \ ge \ dfrac {1} {3} [/ matemáticas]

Answer 2

Observe que lo que tiene en el nominador falta en el denominador. En base a esa observación, podemos reescribir la expresión que pretendemos minimizar en la forma

[matemáticas] M (a, b, c, d): = \ frac {a ^ 3} {Sa} + \ frac {b ^ 3} {Sb} + \ frac {c ^ 3} {Sc} + \ frac {d ^ 3} {Sd} [/ matemáticas]

donde [matemática] S = a + b + c + d. [/ matemática] Ahora observe que la función [matemática] f (x) = \ frac {x ^ 3} {Sx} [/ matemática] es convexa para [matemática ] x \ in (0, S) [/ math] por lo tanto, por la desigualdad de Jensen – Wikipedia:

[matemáticas] M (a, b, c, d) = 4 \ Big [\ frac {1} {4} f (a) + \ frac {1} {4} f (b) + \ frac {1} { 4} f (c) + \ frac {1} {4} f (d) \ Big] \ geq4f \ Big (\ frac {a + b + c + d} {4} \ Big) = 4f (S / 4 ) = S ^ 2/12. [/ Matemáticas]

Nos quedamos atados [math] S [/ math] desde abajo.

Observe que la condición

[matemáticas] ab + bc + cd + da = 1 [/ matemáticas]

puede reescribirse como

[matemáticas] (a + c) (b + d) = 1 [/ matemáticas]

que gracias a la desigualdad de los medios aritméticos y geométricos – Wikipedia da

[matemáticas] S = 2 \ frac {(a + c) + (b + d)} {2} \ geq2 \ sqrt {(a + c) (b + d)} = 2. [/ matemáticas]

Finalmente

[matemáticas] M (a, b, c, d) \ geq S ^ 2/12 \ geq 1/3, [/ matemáticas]

y dado que [math] M (1 / 2,1 / 2,1 / 2,1 / 2) = 1/3 [/ math] por lo tanto [math] 1/3 [/ math] es el mínimo.

Answer 3

Hay una prueba bastante simple de esto.

Por Cauchy-Schwarz, tenemos

[matemáticas] \ begin {alineado} \ sum \ limits _ {\ text {cyc}} \ dfrac {a ^ 3} {b + c + d} & = \ sum \ limits _ {\ text {cyc}} \ dfrac {a ^ 4} {ab + ac + ad} \\ & \ geq \ dfrac {\ left (\ sum \ limits _ {\ text {cyc}} a ^ 2 \ right) ^ 2} {2 \ sum \ limits _ {\ text {sym}} ab} \\ & \ geq \ dfrac {\ left (\ frac {(a + b + c + d) ^ 2} {4} \ right) ^ 2} {2 \ sum \ limits _ {\ text {sym}} ab} \\ & = \ dfrac {(a + b + c + d) ^ 2} {2 \ sum \ limits _ {\ text {sym}} ab} \ cdot \ dfrac {(a + b + c + d) ^ 2} {16} \ end {alineado} [/ matemáticas]

Ahora, desde [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 \ geq 2ab [/ matemáticas], ciclar esto en todos los pares desordenados produce [matemáticas] 3a ^ 2 + 3b ^ 2 + 3c ^ 2 + 3d ^ 2 \ geq 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] (a + b + c + d) ^ 2 \ geq \ dfrac {8} {3} \ sum \ limits _ {\ text {sym}} ab [/ math]

Además, observamos que [matemática] a + b + c + d \ geq 2 \ sqrt {(a + c) (b + d)} = 2 [/ matemática] por AM-GM. Sustituyendo estos en rendimientos

[matemáticas] \ begin {alineado} \ sum \ limits _ {\ text {cyc}} \ dfrac {a ^ 3} {b + c + d} & \ geq \ dfrac {(a + b + c + d) ^ 2 } {2 \ sum \ limits _ {\ text {sym}} ab} \ cdot \ dfrac {(a + b + c + d) ^ 2} {16} \\ & \ geq \ frac {4} {3} \ cdot \ frac {1} {4} \\ & = \ frac {1} {3} \ end {alineado} [/ math]

Por lo tanto, hemos demostrado [math] \ sum \ limits _ {\ text {cyc}} \ dfrac {a ^ 3} {b + c + d} \ geq \ dfrac {1} {3} [/ math]. La igualdad ocurre en [matemáticas] a = b = c = d = \ frac {1} {2} [/ matemáticas].