Este problema es en realidad bastante hermoso y, matemáticamente, educativo: aquellos de nosotros que tenemos la resistencia y la paciencia podemos aprender algo interesante.
Parece que quien construyó este límite en particular hizo todo lo posible para camuflar el hecho de que esta es realmente una buena integral de Riemann disfrazada, cuya esencia clásica es el área cuadrada de una región plana bajo una curva.
(nota: en algunos libros de texto antiguos puede encontrar el término Darboux Sums y Darboux Integrals, sí, soy un dinosaurio).
En cualquier caso: tomamos un sistema de coordenadas cartesianas [matemáticas] xOy [/ matemáticas], un intervalo [matemáticas] [0, 1] [/ matemáticas] en el eje [matemáticas] x [/ matemáticas] y lo dividimos en [ matemática] n [/ matemática] segmentos de línea más pequeños de igual longitud [matemática] \ Delta x [/ matemática]:
- ¿Cuál es el valor de esta integral (x ^ a) / (1 + x ^ n) sin usar residuos?
- ¿Qué es la integración de cero?
- Cómo demostrar [matemáticas] x ^ 0 = 1 [/ matemáticas]
- ¿Qué es pi ^ pi ^ pi ^ pi ^ pi ^ pi ^ pi ^ pi?
- Cómo resolver esto [matemáticas] \ sqrt [3] {\ sqrt {3} + \ sqrt {2}} + \ sqrt {3} – \ sqrt {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Delta x = \ dfrac {1} {n}, \; n \ in \ mathbb {N} \ tag {1} [/ math]
Entonces, la dirección del segmento de línea primitiva [math] i [/ math] en el eje [math] x [/ math] está a solo [math] i [/ math] unidades lejos del origen:
[matemáticas] x_i = \ dfrac {i} {n} \ tag {2} [/ matemáticas]
La magnitud de alguna función [matemática] f (x) [/ matemática] en [matemática] x_i [/ matemática] es entonces [matemática] f (x_i) [/ matemática] y junto con [matemática] x_i [/ matemática] estas dos magnitudes definen un rectángulo primitivo de ancho [matemático] \ Delta x [/ matemático] y alto [matemático] f (x_i) [/ matemático] cuya área cuadrada se conoce como a priori :
[matemáticas] A_i = f (x_i) \ cdot \ Delta x = f \ Big (\ dfrac {i} {n} \ Big) \ cdot \ dfrac {1} {n} \ tag * {} [/ math]
La suma agregada de todos los rectángulos primitivos, en general, es una aproximación del área cuadrada de la región plana en cuestión:
[math] \ displaystyle A ‘= \ sum_i A_i \ tag {3} [/ math]
y el área cuadrada real de la región en cuestión es, afirmamos, el límite de ( 3 ) como [matemática] n [/ matemática] tiende al infinito positivo:
[matemáticas] \ displaystyle A = \ lim_ {n \ to + \ infty} \ sum_i A_i \ tag {4} [/ matemáticas]
o:
[matemáticas] \ displaystyle A = \ lim_ {n \ to + \ infty} \ dfrac {1} {n} \ sum_i f \ Big (\ dfrac {i} {n} \ Big) \ tag {5} [/ math ]
Desde el punto de vista de la resolución de problemas, si podemos encontrar la forma de [math] f \ Big (\ dfrac {i} {n} \ Big) [/ math] escondida en el límite dado, entonces podemos comenzar a ver la luz en el Fin del túnel.
En este caso particular, los números [matemática] 1 ^ p, 2 ^ p, 3 ^ p [/ matemática], etc. se pueden agrupar en una familiar [matemática] i ^ p [/ matemática] que se puede combinar con [ matemáticas] n ^ p [/ matemáticas] del denominador:
[math] \ Big (\ dfrac {i} {n} \ Big) ^ p \ tag * {} [/ math]
y la forma de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas], mágicamente, se revela:
[matemáticas] f (x) = x ^ p \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
donde la naturaleza de [math] p [/ math] no se aclara en el enunciado del problema, entonces tomemos que es un número natural.
En resumen, tenemos ([math] i [/ math] va de [math] 1 [/ math] a [math] n [/ math]):
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to + \ infty} \ dfrac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n \ Big (\ dfrac {i} {n} \ Big) ^ p \ tag *{}[/matemáticas]
o:
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to + \ infty} \ dfrac {1} {n ^ {p + 1}} \ sum_ {i = 1} ^ ni ^ p \ tag * {} [/ math]
Entonces, nuestra capacidad para encontrar una respuesta depende de nuestra capacidad para calcular primero la siguiente suma:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ ni ^ p \ tag {6} [/ matemáticas]
En el pasado, en esta respuesta de Quora, he demostrado un método simple (pero laborioso) de calcular tales sumas (donde [matemáticas] p \ in \ mathbb {N} [/ matemáticas]) con solo conocimiento de álgebra en la escuela secundaria. Este es un Universo libre: tiene derecho a debilitarse y cambiar a integrales en este punto, sin ofender, es una broma, pero espero que matemáticamente sea más educativo seguir adelante con sumas discretas.
El principal aspecto laborioso del método para calcular las sumas de tipo ( 6 ) es su estricta secuencia: para calcular la suma de los cuadrados, [matemáticas] i ^ 2 [/ matemáticas], necesitamos calcular la suma de las primeras potencias. Para calcular la suma de cubos, [matemática] i ^ 3 [/ matemática], necesitamos calcular la suma de cuadrados y así sucesivamente: para calcular la suma [matemática] i ^ p [/ matemática] primero debemos calcular la suma de [matemáticas] i ^ {p-1} [/ matemáticas].
Usando este método se puede demostrar (y este es un buen ejercicio propio) que la suma del tipo ( 6 ) siempre se puede representar como:
[matemáticas] \ dfrac {n ^ {p + 1}} {p + 1} + An ^ p + Bn ^ {p-1} + Cn ^ {p-2} + \ dots \ tag {7} [/ matemáticas ]
Ahora, si le gustan las bellas matemáticas, busque los números de Bernoulli [matemáticas] B_i [/ matemáticas] – con su ayuda, la suma ( 6 ) puede escribirse en forma cerrada como:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n-1} i ^ p = \ dfrac {n ^ {p + 1}} {p + 1} + \ sum_ {i = 1} ^ {p + 1} \ dfrac {B_i} {i} \ binom {p} {i-1} n ^ {p-i + 1} \ tag * {} [/ math]
Volviendo a nuestro límite: vemos que como [math] n [/ math] tiende al infinito positivo, entonces todos los términos en la suma ( 7 ) pero el primero se puede eliminar de forma segura y nuestro límite se colapsa en:
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to + \ infty} \ dfrac {1} {n ^ {p + 1}} \ cdot \ dfrac {n ^ {p + 1}} {p + 1} = \ dfrac {1} {p + 1} \ tag * {} [/ math]
Como ejercicio: recordamos (de memoria – sin deducción) que para [matemáticas] p = 1 [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ ni = \ dfrac {n (n + 1)} {2} \ tag * {} [/ matemáticas]
Entonces:
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to + \ infty} \ dfrac {1} {n ^ 2} \ cdot \ dfrac {n (n + 1)} {2} = \ lim_ {n \ to + \ infty } \ Big (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {2n} \ Big) = \ dfrac {1} {2} \ tag * {} [/ math]
y así.