La ecuación dada probablemente no tiene soluciones enteras.
El uso de la función incorporada de Mathematica FindInstance [] y la búsqueda de soluciones enteras para la ecuación dada no arrojaron ningún resultado.
Las soluciones a la ecuación [matemáticas] x ^ x + y ^ y = z ^ z [/ matemáticas] en términos de [matemáticas] x [/ matemáticas] son las siguientes (de Wolfram Alpha):
[matemáticas] \ bullet \ quad x = e ^ {{\ displaystyle W _ {- 1} \ left (\ ln \ left (z ^ zy ^ y \ right) +2 i \ pi n \ right)}} [/ math ]
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- Si [math] a, b, c, d [/ math] son números reales positivos y [math] ab + bc + cd + da = 1 [/ math], ¿cuál es el valor mínimo de [math] \ frac {a ^ 3} {b + c + d} + \ frac {b ^ 3} {a + c + d} + \ frac {c ^ 3} {a + b + d} + \ frac {d ^ 3} {a + b + c} [/ matemáticas]?
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- Cómo encontrar [math] \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ frac {1 ^ p + 2 ^ p + 3 ^ p + \ dotsb + n ^ p} {n ^ {p + 1}} [/ math ]
La solución anterior tiene las siguientes declaraciones condicionales:
[matemáticas] {\ displaystyle y ^ y \ neq z ^ z, \ ln \ left (z ^ zy ^ y \ right) +2 i \ pi n \ neq 0, \ pi + \ Im \ left (W _ {- 1 } \ left (\ ln \ left (z ^ zy ^ y \ right) +2 i \ pi n \ right) \ right)> 0, \\ n \ in \ mathbb {Z}} [/ math]
[matemáticas] \ bullet \ quad x = e ^ {{\ displaystyle W \ left (\ ln \ left (z ^ zy ^ y \ right) +2 i \ pi n \ right)}} [/ math]
La solución anterior viene con las siguientes condiciones:
[matemáticas] {\ displaystyle \ ln \ left (z ^ zy ^ y \ right) +2 i \ pi n \ neq 0, n \ in \ mathbb {Z}} [/ math]
[matemáticas] \ bullet \ quad x = e ^ {{\ displaystyle W_1 \ left (\ ln \ left (z ^ zy ^ y \ right) +2 i \ pi n \ right)}} [/ math]
La solución anterior viene con las condiciones:
[matemáticas] {\ displaystyle \ ln \ left (z ^ zy ^ y \ right) +2 i \ pi n \ neq 0, \ Im \ left (W_1 \ left (\ ln \ left (z ^ zy ^ y \ right) ) +2 i \ pi n \ right) \ right) \ leq \ pi, n \ in \ mathbb {Z}} [/ math]
[math] W (z) [/ math] es la función de registro del producto o la función Lambert W; [math] W_k (z) [/ math] es la continuación analítica de la función de registro del producto.
La ecuación [matemáticas] x ^ x + y ^ y = z ^ z [/ matemáticas] se puede resolver de manera equivalente con Mathematica escribiendo:
Reducir [x ^ x + y ^ y == z ^ z, x]
Otra solución que podría considerarse es aquella en la que [matemática] x = 1 [/ matemática] y [matemática] 1 + y ^ y = z ^ z. [/ Matemática] Resolver esta solución en términos de [matemática] y [/ matemática] produce los siguientes resultados (verificados con Mathematica):
[matemáticas] {\ displaystyle \ left (1 + e ^ {- 1 / e} \ leq z ^ z 2 \ land y = e ^ {W \ left (\ ln \ left (z ^ z-1 \ right) \ right)} \ right)} [/ math]
Y resolver en términos de [matemáticas] z [/ matemáticas] produce los resultados:
[matemáticas] {\ displaystyle \ left (e ^ {- 1 / e} -1 \ leq y ^ y 0 \ land z = e ^ {W \ left (\ ln \ left (y ^ y + 1 \ right) \ right)} \ right)} [/ math]
Por ejemplo, para [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = 408 [/ matemáticas], el valor de [matemáticas] z [/ matemáticas] es:
[matemáticas] z = e ^ {{\ displaystyle W \ left (\ ln \ left (y ^ y + 1 \ right) \ right)}} = e ^ {{\ displaystyle W \ left (\ ln \ left (1 + 408 ^ {408} \ right) \ right)}} [/ math]
El valor numérico aproximado de [matemática] z [/ matemática] a [matemática] 2000 [/ matemática] dígitos decimales es:
408.
A continuación se muestra un diagrama de contorno 3D de [matemáticas] x ^ x + y ^ y = z ^ z [/ matemáticas] (hecho con Mathematica):
El código de Mathematica para el diagrama de contorno 3D anterior es:
ContourPlot3D [x ^ x + y ^ y == z ^ z, {x, -2, 9}, {y, -2, 9}, {z, -2, 9},
AxesLabel -> Automático, Malla -> Ninguno]
Y aquí hay una gráfica de contorno de [matemáticas] 1 + y ^ y = z ^ z [/ matemáticas]:
