¿Cuál es la forma de encontrar el límite usando la expansión de Taylor [matemáticas] \ lim_ {x \ to0} (\ frac {1} {ln (1 + x)} + \ frac {1} {ln (1-x)}) [/matemáticas]?

Answer 1

Editar: Mi sincero agradecimiento a Sridhar Ramesh y Ondrej Zelenka que habían señalado el error en el razonamiento en mi publicación anterior. Gracias a sus comentarios, he corregido mi respuesta.

Deje [math] L = \ lim_ {x \ to 0} \ left (\ frac {1} {\ log (1 + x)} + \ frac {1} {\ log (1-x)} \ right). [/matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow \ qquad L = \ lim_ {x \ a 0} \ left (\ frac {\ log (1 + x) + \ log (1-x)} {\ log (1 + x) \ log ( 1-x)} \ right). [/ Math]

Usando la expansión Taylor, obtenemos,

[matemáticas] \ log (1 + x) = x- \ frac {x ^ 2} {2} + \ frac {x ^ 3} {3} – \ frac {x ^ 4} {4} + \ cdots [/ matemáticas]

[matemáticas] \ log (1-x) = -x- \ frac {x ^ 2} {2} – \ frac {x ^ 3} {3} – \ frac {x ^ 4} {4} – \ cdots [ /matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad L = \ lim_ {x \ to 0} \ left (\ frac {[x- \ frac {x ^ 2} {2} + \ frac {x ^ 3} {3} + O ( | x ^ 4 |] + [- x- \ frac {x ^ 2} {2} – \ frac {x ^ 3} {3} -O (| x ^ 4 |]} {[x- \ frac {x ^ 2} {2} + \ frac {x ^ 3} {3} + O (| x ^ 4 |)] [- x- \ frac {x ^ 2} {2} – \ frac {x ^ 3} { 3} -O (| x ^ 4 |)]} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ lim_ {x \ a 0} \ left (\ frac {-x ^ 2 + O (| x ^ 4 |)} {- x ^ 2- \ frac {5x ^ 4} {12} + O (| x ^ 6 |)} \ right) [/ math].

Dividiendo el numerador y el denominador por [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] (ya que [matemáticas] x \ ne 0 [/ matemáticas]), obtenemos,

[matemáticas] L = \ lim_ {x \ a 0} \ left (\ frac {-1 + O (| x ^ 2 |)} {- 1- \ frac {5x ^ 2} {12} + O (| x ^ 4 |)} \ right) = 1. [/ math]

Answer 2

Al considerar la serie de Taylor relevante expandida a los números de términos relevantes, obtenemos [matemáticas] \ frac {1} {\ ln (1 + x)} = \ frac {1} {x – x ^ 2/2 + \ dots } = \ frac {1} {x (1 – x / 2 + \ dots)} = \ frac {1} {x} (1 + x / 2 + \ dots) [/ math].

Simétricamente, debemos tener que [matemáticas] \ frac {1} {\ ln (1 – x)} = \ frac {1} {- x} (1 – x / 2 + \ dots) = \ frac {1} { x} (- 1 + x / 2 + \ dots) [/ math], y sumando esto, nos queda con [math] \ frac {1} {x} (x + \ dots) = 1 + \ dots [ / math], que indica un valor de [math] 1 [/ math] como [math] x \ a 0 [/ math].