Cómo demostrar que [matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ 3 = \ left (\ sum_ {k = 0} ^ nk \ right) ^ 2 [/ math]

Answer 1

Por lo que vale, esto a veces se conoce como “Teorema de Nicómaco”. Una prueba que disfruto mucho es la respuesta de Sridhar Ramesh a ¿Cómo se puede probar que [matemáticas] (1 + 2 + \ puntos + n) ^ 2 = 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + \ puntos + n ^ 3 [ / matemáticas] sin usar inducción matemática ?. Repito esa respuesta aquí:

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Aquí hay una prueba que disfruto porque contiene solo cálculos triviales:

Considere [matemáticas] T_p (n) = 1 ^ p +… + n ^ p [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que esto siempre viene dado por un polinomio [matemático] (p + 1) [/ matemático] en [matemático] n [/ matemático] con coeficiente principal [matemático] 1 / (p + 1) [/ matemático] [nota 1], enviando [matemáticas] 0 [/ matemáticas] a [matemáticas] 0 [/ matemáticas] [nota 2] y [matemáticas] 1 [/ matemáticas] a [matemáticas] 1 [/ matemáticas] [nota 3]; además, para impares [matemáticas] p [/ matemáticas], este polinomio será simétrico alrededor de [matemáticas] -1/2 [/ matemáticas] [nota 4].

Por lo tanto, [math] T_3 (n) [/ math] y [math] (T_1 (n)) ^ 2 [/ math] están dados por [math] 4 [/ math] polinomios de grado con coeficiente principal [math] 1/4 [/ matemática], enviando [matemática] 0 [/ matemática] a [matemática] 0 [/ matemática] y [matemática] 1 [/ matemática] a [matemática] 1 [/ matemática], simétrica alrededor de [matemática] -1/2 [/ matemáticas]. Esto no deja grados de libertad para que difieran, y por lo tanto son lo mismo.

1: Por el análogo discreto de la “regla de poder” del cálculo
2: Como la suma vacía es [matemática] 0 [/ matemática]
3: Como [matemáticas] 1 ^ p = 1 [/ matemáticas]
4: Porque [matemática] T_p (- (n + 1)) = -0 ^ p – (-1) ^ p -… – (-n) ^ p [/ matemática], que para impar [matemática] p [/ math] es lo mismo que [math] T_p (n) [/ math]

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Dicho todo esto … Otra excelente prueba es la respuesta de Alexander Farrugia a ¿Cómo se puede probar que [matemáticas] (1 + 2 + \ puntos + n) ^ 2 = 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + \ puntos + n ^ 3 [/ matemáticas] sin usar inducción matemática ?.

Answer 2

Depende de lo lejos que quieras demostrarlo:

[matemáticas] \ suma \ límites_ {i = 1} ^ ni = \ frac {n (n + 1)} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ suma \ límites_ {i = 1} ^ ni ^ 3 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2} {4} [/ matemáticas]

son resultados estándar que pueden probarse por inducción, es decir, asumir verdadero, demostrar si es verdadero para [matemáticas] k [/ matemáticas], entonces también es cierto para [matemáticas] k + 1 [/ matemáticas] y luego mostrar verdadero para un número “induciendo ” una prueba.

A partir de estos resultados estándar, podemos ver que lo que intenta probar es inherentemente obvio. Sin embargo, esto no está revestido de hierro y, dependiendo del contexto de la pregunta, es posible que deba hacer una prueba más formal.

Answer 3

En primer lugar si [math] n = 1 [/ math] ambas sumas son [math] 1 [/ math].

Suponga que [matemáticas] f (n) = \ sum_ {k = 0} ^ n {k ^ 3} [/ matemáticas] y [matemáticas] g (n) = (\ sum_ {k = 0} ^ n {k} ) ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] h (n) = \ sum_ {k = 0} ^ n {k} [/ matemáticas]

Consideremos el aumento de ambas sumas cuando [matemática] n-1 [/ matemática] se convierte en [matemática] n [/ matemática]

[matemáticas] \ Delta_f = f (n) -f (n-1) = n ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Delta_g = g (n) -g (n-1) = (h (n-1) + n) ^ 2 – h (n-1) ^ 2 = h (n-1) ^ 2 + 2h (n-1) n + n ^ 2 – h (n-1) ^ 2 = n ^ 2 +2 \, n \, h (n-1) [/ matemática]

De la suma de Gauss, sabemos que [matemática] h (n-1) = (n-1) n / 2 = (n ^ 2 – n) / 2 [/ matemática] así que sustituyendo obtenemos [matemática] \ Delta_g = n ^ 2 + n ^ 3 – n ^ 2 = n ^ 3 [/ matemáticas]

Entonces [math] \ Delta_f = \ Delta_g [/ math] por cada [math] n [/ math]

Como tenemos dos sumas que tienen el mismo valor inicial e incrementos siempre de la misma cantidad, deben ser iguales, lo que demuestra la igualdad.

Answer 4

Escribamos [math] q (n) = \ displaystyle \ left (\ sum_ {k = 0} ^ {n} {k} \ right) ^ 2 [/ math].

Lema: [matemáticas] q (n) = \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {n} {k ^ 3} [/ matemáticas]

Prueba:

Observe que [matemáticas] q (0) = 0 [/ matemáticas].

[matemáticas] \ begin {align} \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ bigg (q (k) – q (k-1) \ bigg) & = q (n) – q (n-1) + q (n-1) – \ cdots – q (1) + q (1) – q (0) \\ & = q (n) – q (0) = q (n) \ end {align} [/ math ]

Recuerde que [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {j = 0} ^ {k} {j} = {\ textstyle \ frac {1} {2}} k \ left (k + 1 \ right) [/ math]

Entonces [matemáticas] q (k) = \ displaystyle \ left (\ sum_ {j = 0} ^ {k} {j} \ right) ^ 2 = \ bigg ({\ textstyle \ frac {1} {2}} k \ left (k + 1 \ right) \ bigg) ^ 2 = {\ textstyle \ frac {1} {4}} k ^ 2 \ left (k ^ 2 + 2k + 1 \ right) [/ math]

Y [matemáticas] q (k-1) = \ displaystyle \ left (\ sum_ {j = 0} ^ {k-1} {j} \ right) ^ 2 = \ bigg ({\ textstyle \ frac {1} { 2}} \ left (k – 1 \ right) k \ bigg) ^ 2 = {\ textstyle \ frac {1} {4}} k ^ 2 \ left (k ^ 2 – 2k + 1 \ right) [/ math ]

[matemáticas] \ por lo tanto q (k) – q (k-1) = {\ textstyle \ frac {1} {4}} k ^ 2 \ left (4k \ right) = k ^ 3 [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto q (n) = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ bigg (q (k) – q (k-1) \ bigg) = \ sum_ {k = 1} ^ { n} {k ^ 3} = \ sum_ {k = 0} ^ {n} {k ^ 3} \ \ [/ math] QED

Answer 5

Answer 6

Mira una de mis formas favoritas de probar esta identidad:

La respuesta de Alexander Farrugia a ¿Cómo se puede probar que [matemáticas] (1 + 2 + \ puntos + n) ^ 2 = 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + \ puntos + n ^ 3 [/ matemáticas] sin usar inducción matemática?

Answer 7

fuente: Arte de las matemáticas

Answer 8

Si [math] P (k) [/ math] es un polinomio de grado [math] d [/ math], siempre podemos escribir:

[math] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {n} P (k) \ = \ S (n) \ quad [/ math] donde [math] S (n) [/ math] es un polinomio de grado [matemáticas] d [/ matemáticas] [matemáticas] +1 [/ matemáticas].

Si [matemáticas] P (k) = k ^ 3 [/ matemáticas] entonces debemos encontrar los coeficientes de

[matemáticas] S (n) = a_4n ^ 4 + a_3n ^ 3 + a_2n ^ 2 + a_1n + a_0 [/ matemáticas].

Para simplificar, sabemos [matemática] S (0) = 0 [/ matemática] y por lo tanto [matemática] a_0 = 0 [/ matemática].

Para encontrar los otros coeficientes, conectamos los resultados para [matemática] n = 1 [/ matemática], [matemática] n = 2 [/ matemática], [matemática] n = 3 [/ matemática] y [matemática] n = 4 [/ math] y obtenga el conjunto de ecuaciones simultáneas (en forma de matriz):

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 y 1 y 1 y 1 \\ 16 y 8 y 4 y 2 \\ 81 y 27 y 9 y 3 \\ 256 y 64 y 16 y 4 \ end {pmatrix} \ begin { pmatrix} a_4 \\ a_3 \\ a_2 \\ a_1 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 \\ 9 \\ 36 \\ 100 \ end {pmatrix} [/ math]

Este sistema se resuelve con bastante facilidad: [matemáticas] \ quad a_4 = \ frac {1} {4} \ quad a_3 = \ frac {2} {4} \ quad a_2 = \ frac {1} {4} \ quad a_1 = 0 [/matemáticas]

Ahora podemos escribir:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {n} k ^ 3 = S (n) = \ frac {n ^ 4 + 2n ^ 3 + n ^ 2} {4} = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2} {4} = \ left (\ frac {n (n + 1)} {2} \ right) ^ 2 [/ math]

Me gusta este método porque, dado cualquier polinomio [matemático] P (k) [/ matemático], encontrará el polinomio ‘suma’ [matemático] S (n) [/ matemático]. Para usar la inducción, necesitamos saber [matemáticas] S (n) [/ matemáticas] de antemano y luego demostrar que es correcto.