Deje que [math] \ alpha, \ beta \ in \ mathbb R [/ math] tal que [math] \ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} \ dfrac {x ^ 2 \ sin (\ beta x)} { \ alpha x – \ sin x} = 1 [/ matemáticas]. ¿Cuál es el valor de [matemáticas] 6 (\ alpha + \ beta) [/ matemáticas]?

Answer 1

Este fue probablemente uno de los más fáciles en el examen de 2016.

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \ dfrac {x ^ 2 \ sin (\ beta x)} {\ alpha x – \ sin x} = 1 \ tag * {} [/ matemáticas]

Multiplicar y dividir por [matemáticas] \ beta x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \ dfrac {x ^ 2 \ dfrac {\ sin (\ beta x)} {\ beta x}} {\ alpha x – \ sin x} \ cdot \ beta x = 1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \ dfrac {\ beta x ^ 3} {\ alpha x – \ left (x – \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 5} {5!} \ Cdots \ right)} = 1 \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \ dfrac {\ beta x ^ 3} {(\ alpha -1) x + \ dfrac {x ^ 3} {3!} – \ dfrac {x ^ 5} { 5!} \ Cdots} = 1 \ tag * {} [/ math]

Para que exista el límite, buscamos una forma [math] \ dfrac {0} {0} [/ math], que solo es posible cuando [math] \ alpha = 1. [/ Math]

También al pasar [math] x \ to0 [/ math] observamos, [math] 3! \ Times \ beta = 1 \ implica \ beta = \ dfrac {1} {6} [/ math]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} 6 (\ alpha + \ beta) & = 6 \ left (1 + \ dfrac {1} {6} \ right) \\ & = 6 \ cdot \ dfrac {7} { 6} = \ boxed {7} \ end {align} [/ math]

Answer 2

[matemáticas] \ grande \ displaystyle \ star [/ matemáticas] A2A

[matemáticas] \ large \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ frac {x ^ 2 \ sin (\ beta x)} {\ alpha x – \ sin x} = 1 [/ matemáticas]

Multiplica y divide el Numerador por [matemáticas] \ large \ displaystyle \ beta x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ frac {\ beta x ^ 3 \ underbrace {\ frac {\ sin (\ beta x)} {\ beta x}} _ {\ text { es igual a} 1 \ text {when} x \ to 0}} {\ alpha x – \ sin x} = \ large \ displaystyle 1 [/ math]

[matemáticas] \ implica \ grande \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ frac {\ beta x ^ 3} {\ alpha x – \ sin x} = 1 [/ matemáticas]

Al aplicar el límite, obtenemos el formulario [math] \ large \ displaystyle \ frac {0} {0} [/ math]

Usando la regla de L’Hôpital

[matemáticas] \ large \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ frac {3 \ beta x ^ 2} {\ alpha – \ cos x} = \ large \ displaystyle 1 [/ math]

Ahora al aplicar el límite,

Obtenemos ,

[matemáticas] \ large \ displaystyle \ alpha – 1 = \ large \ displaystyle 0 [/ math]

[math] \ implica \ large \ displaystyle \ boxed {\ alpha = \ large \ displaystyle 1} [/ math] (Para obtener una forma indeterminada)

Entonces ahora tenemos,

[matemáticas] \ large \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ frac {3 \ beta x ^ 2} {1 – \ cos x} = \ large \ displaystyle 1 [/ math]

Nuevamente aplique la regla de L’Hôpital

[matemáticas] \ large \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ frac {6 \ beta x} {\ sin x} = \ large \ displaystyle 1 [/ math]

Sabemos que [math] \ large \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {x} {\ sin x} = \ large \ displaystyle 1 [/ math]

Entonces, [math] \ large \ displaystyle 6 \ beta = \ large \ displaystyle 1 [/ math]

[math] \ implica \ large \ displaystyle \ boxed {\ beta = \ large \ displaystyle \ frac {1} {6}} [/ math]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ large \ displaystyle 6 (\ alpha + \ beta) = \ large \ displaystyle 6 \ left (1 + \ frac {1} {6} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle 6 (\ alpha + \ beta) = \ large \ displaystyle 6 \ left (\ frac {7} {6} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle \ boxed {\ boxed {\ large \ displaystyle 6 (\ alpha + \ beta) = \ large \ displaystyle 7}} [/ math]

¡Gracias!

[matemática] {\ enorme {\ enorme {\ displaystyle \ ddot \ smile}}} [/ matemática]

Answer 3

Gracias A2A

Dado:

[matemáticas] \ displaystyle \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 0} \ frac {{{x ^ 2} \ sin \ left ({\ beta x} \ right)}} {{\ alpha x – \ sen x}} = 1 [/ matemáticas]

Cuando [math] \ displaystyle x = 0 [/ math], la expresión se convierte en la forma [math] \ displaystyle \ frac {0} {0} [/ math]

Diferenciando numerador y denominador una vez, obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 0} \ frac {{{x ^ 2} \ cos \ left ({\ beta x} \ right). \ beta + \ sin \ left ( {\ beta x} \ right) .2x}} {{\ alpha – \ cos x}} = 1 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ Rightarrow \ frac {{{{\ left (0 \ right)} ^ 2} \ cos \ left ({\ beta \ times 0} \ right). \ beta + \ sin \ left ({\ beta \ times 0} \ right) .2 \ left (0 \ right)}} {{\ alpha – \ cos \ left (0 \ right)}} = 1 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ Rightarrow \ alpha – 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ Rightarrow \ alpha = 1 [/ matemáticas]

---

Sustituyendo el valor de [math] \ displaystyle \ alpha, [/ math] obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 0} \ frac {{{x ^ 2} \ sin \ left ({\ beta x} \ right)}} {{x – \ sin x }} = 1 [/ matemáticas]

Cuando [math] \ displaystyle x = 0 [/ math], la expresión se convierte en la forma [math] \ displaystyle \ frac {0} {0} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 0} \ frac {{{x ^ 2} \ cos \ left ({\ beta x} \ right) + \ sin \ left ({\ beta x} \ right) .2x}} {{1 – \ cos x}} = 1 [/ math]

Ahora, cuando [math] \ displaystyle x = 0 [/ math], la expresión se convierte en la forma [math] \ displaystyle [/ math] [math] \ frac {0} {0} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 0} \ frac {{{x ^ 2} \ left ({- \ sin \ left ({\ beta x} \ right). \ beta} \ right) + \ cos \ left ({\ beta x} \ right) .2x + \ sin \ left ({\ beta x} \ right) .2 + 2x. \ cos \ left ({\ beta x} \ right ). \ beta}} {{\ sin x}} = 1 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 0} \ frac {{\ sin \ left ({\ beta x} \ right) \ left ({2 – \ beta {x ^ 2}} \ right) + 2x \ cos \ left ({\ beta x} \ right) \ left ({1 + \ beta} \ right)}} {{\ sin x}} = 1 [/ math]

Diferenciando numerador y denominador una vez, obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 0} \ frac {{\ sin \ left ({\ beta x} \ right) \ left ({0 – 2x \ beta} \ right) + \ left ({2 – \ beta {x ^ 2}} \ right) \ cos \ left ({\ beta x} \ right). \ beta + \ left ({1 + \ beta} \ right) \ left [{ 2x. \ Left ({- \ sin \ left ({\ beta x} \ right). \ Beta} \ right)} \ right]}} {{\ cos x}} = 1 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ Rightarrow \ frac {{\ sin \ left ({\ beta \ times 0} \ right) \ left ({0 – 2 \ times 0 \ times \ beta} \ right) + \ left ({2 – \ beta {{\ left (0 \ right)} ^ 2}} \ right) \ cos \ left ({\ beta \ times 0} \ right). \ Beta + \ left ({1 + \ beta} \ right ) \ left [{2 \ times 0. \ left ({- \ sin \ left ({\ beta \ times 0} \ right). \ beta} \ right)} \ right]}} {{\ cos \ left ( 0 \ right)}} = 1 [/ math]

[

[matemáticas] \ displaystyle \ Rightarrow \ frac {{\ sin \ left ({\ beta \ times 0} \ right) \ left ({0 – 2 \ times 0 \ times \ beta} \ right) + \ left ({2 – \ beta {{\ left (0 \ right)} ^ 2}} \ right) \ cos \ left ({\ beta \ times 0} \ right). \ Beta}} {{\ cos \ left (x \ right )}} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ Rightarrow \ frac {{2 \ beta}} {1} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ Rightarrow \ beta = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ Rightarrow \ left ({\ alpha + \ beta} \ right) = 1 + \ frac {1} {2} = \ frac {3} {2} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ left ({\ alpha + \ beta} \ right) = \ frac {3} {2} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle 6 \ left ({\ alpha + \ beta} \ right) = \ frac {3} {2} \ times 6 = 9 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {\ por lo tanto 6 \ left ({\ alpha + \ beta} \ right) = 9} [/ math]

~ Praveenkumar Kalikeri ~

Por favor corrígeme si estoy equivocado)

Answer 4

Primero múltiples bx arriba y abajo,

lim x-> 0 x ^ 3b / ax-sinx

Usando L Hospital,

lim x-> 0 3x ^ 2b / a-cosx

Entonces, para el formulario 0/0 (para aplicar L hospital) necesitamos hacer

a = cos0 = 1

Entonces limx-> 0 3x ^ 2b / 1-cosx

De nuevo diferenciando

lim x-> 0 6xb / sinx

De nuevo usando l hospital

lim x-> 0 6b / cosx = 1

Entonces 6b = 1 =) b = 1/6.

Entonces 6 (a + b) = 6 * (1 + 1/6) = 6 * 7/6 = 7 (Ans)