Cómo calcular [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ \ limits {n \ to \ infty} \ {(\ sqrt {5} +2) ^ n \} \ cos \ pi \ lfloor \, (\ sqrt {5} +2 ) ^ n \ rfloor \ [/ math] donde [math] \ {x \} [/ math] denota la parte fraccional de [math] \, x [/ math] y [math] \ lfloor x \ rfloor [/ math ] denota la función de piso

Answer 1

Esto parece ser muy desafiante y hermoso.

Pero inspeccione la pregunta cuidadosamente. Esto no requiere resolución en absoluto.

Lo que tenemos que evaluar es básicamente donde 1. la parte fraccional de un número (> 1) elevado a un número infinitamente grande multiplicado por 2. el coseno del mismo número elevado o la misma potencia multiplicada por pi tiende a

Ahora, debe haber pasado por preguntas que le piden que averigüe si existe un límite o no. Lo que generalmente podemos (en términos no muy matemáticos) es que existe un límite si tiende a un solo valor en particular.

Ignoremos la primera parte del producto y centrémonos en la segunda, ya que la primera parte será solo 1 / x donde x> 1. Como root5 + 2 es un valor mayor que 1, cuando se eleva a un número que tiende al infinito, su valor aumenta rápidamente e incluso eso tiende al infinito, pero lo que necesitamos observar es la naturaleza del mayor valor entero de él. Esto definitivamente no es estacionario ya que no hay necesidad de que sea un valor particular. Moviéndonos hacia el infinito en el número uno, podemos variar n sutilmente para evitar totalmente el valor del coseno. Ahora, el punto que me gustaría destacar aquí se mostrará a través de un ejemplo bastante “fácil de entender”. Digamos que el valor de tipo del gif se encuentra entre un múltiplo impar de pi / 2 y el de 3pi / 2. Esto terminaría en darnos un valor negativo. Pero cuando miramos el valor del 4to al 1er cuadrante (los números aquí están cerca del infinito), observamos que es positivo. A medida que avanzamos, se repiten los mismos casos. Ningún límite definido oscilaría a tal velocidad. Por lo tanto, el gráfico oscila con una frecuencia infinitamente grande a medida que n avanza hacia el infinito

Por lo tanto, se puede concluir que el límite de la función anterior no existe.

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Venkatesh P

Answer 2

Deseche esta respuesta si desea ver la solución al problema específico. Al principio, no mostró el problema y estaba pensando que quería saber cómo hacer límites en el infinito. Sin embargo, si quieres conocer algunas formas, sigue adelante.

Hay dos formas (por lo que sé) de encontrar límites que se acerquen a [math] \ infty [/ math].

Primera forma:

Cuando tienes un lim [math] [[/ math] que se acerca a [math] \ infty [/ math], y tienes una función racional, puedes dividir todos los términos por la potencia más alta del denominador.

Hacer esto dará como resultado que algún término tenga una fracción de la potencia más alta, lo que resultará en [matemáticas] 0 [/ matemáticas].

Por ejemplo, considere el siguiente límite.

[matemáticas] \ begin {align *} \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ dfrac {x + 2} {x ^ 2 + x + 1} \ end {align *} \ tag * {} [/ math ]

Como se indicó anteriormente, tenemos un número cercano al infinito, por lo tanto, podemos dividir todo el término por la potencia más alta del denominador; en este caso, siendo [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas]. Continuando con nuestro límite …

[matemáticas] \ begin {align *} = \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ dfrac {\ frac {x} {x ^ 2} + \ frac {2} {x ^ 2}} {\ frac { x ^ 2} {x ^ 2} + \ frac {x} {x ^ 2} + \ frac {1} {x ^ 2}} \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Como sabemos que [math] \ dfrac {x} {\ infty} = 0 [/ math]; donde [matemática] x [/ matemática] [matemática] ϵ [/ matemática] [matemática] \ mathbb {R} [/ matemática]

[matemáticas] \ begin {align *} = \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ dfrac {0 + 0} {1 + 0 + 0} \ qquad \ Rightarrow \ qquad \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ dfrac {0} {1} \ qquad \ Rightarrow \ qquad 0 \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align *} \ bbox [# AFA, 5px] {\ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ dfrac {x + 2} {x ^ 2 + x + 1} = 0} \ end {alinear *} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Segunda forma:

La segunda forma es usar la regla de L’Hopital. La regla de L’Hopital básicamente establece que si usara la sustitución directa en la función racional, y terminara con una forma indeterminada, como [math] \ dfrac {\ infty} {\ infty} [/ math] o [ matemáticas] \ dfrac {0} {0} [/ matemáticas], entonces …

[matemáticas] \ begin {align *} \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} \ dfrac {f (x)} {g (x)} = \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} \ dfrac {f ‘( x)} {g ‘(x)} \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Por ejemplo, considere este límite.

[matemáticas] \ begin {align *} \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ dfrac {4x ^ 2 – 5x} {1 – 3x ^ 2} \ end {align *} \ tag * {} [/ math ]

La sustitución directa producirá [math] \ dfrac {\ infty} {- \ infty} [/ math]. Por lo tanto, aplicamos la regla de L’Hopital.

Primero, definamos las funciones y tomemos sus derivados.

[matemáticas] \ begin {align *} f (x) = 4x ^ 2 – 5x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f ‘(x) = 8x – 5 \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align *} g (x) = 1 – 3x ^ 2 \ qquad \ Rightarrow \ qquad g ‘(x) = -6x \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align *} \ por lo tanto \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ dfrac {8x – 5} {- 6x} = \ dfrac {\ infty} {- \ infty} \ end {align * } \ tag * {} [/ math]

Espera … ¿eh? Obtuvimos el mismo resultado . Esto sucederá mucho al aplicar la Regla de L’Hopital. Todo lo que necesitas hacer es tomar una segunda derivada.

[matemáticas] \ begin {align *} \ dfrac {d} {dx} (8x – 5) = 8 \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align *} \ dfrac {d} {dx} (- 6x) = -6 \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align *} \ por lo tanto \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ dfrac {8} {- 6} \ qquad \ Rightarrow \ qquad \ dfrac {4} {- 3} \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align *} \ bbox [# AFA, 5px] {\ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ dfrac {4x ^ 2 – 5x} {1 – 3x ^ 2} = – \ dfrac { 4} {3}} \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Answer 3

Deje que [matemáticas] L = \ lim_ {n \ to \ infty} \ {(\ sqrt {5} + 2) ^ n \} \ cos (\ pi [\ sqrt {5} + 2) ^ n]) [/ matemáticas]

donde [math] \ {. \} [/ math] denota la parte fraccionaria de un número Real y [math] [.] [/ math] denota la función entera más grande.

[matemáticas] L = \ lim_ {n \ to \ infty} \ {(\ sqrt {5} + 2) ^ n \} \ lim_ {n \ to \ infty} \ cos (\ pi [\ sqrt {5} + 2) ^ n]) [/ matemáticas]

Deje [math] a_n = \ cos (\ pi [\ sqrt {5} + 2) ^ n]) [/ math]

Por cada [math] n \ in \ mathbb {N} [/ math]

[matemáticas] a_n = \ pm 1 [/ matemáticas]

Entonces, podemos tener [math] (a_ {m_1}) [/ math] una subsecuencia de [math] (a_n) [/ math] tal que

[matemáticas] \ lim_ {m_1 \ to \ infty} a_ {m_1} = 1 [/ matemáticas]

y [math] (a_ {m_2}) [/ math] una subsecuencia de [math] (a_n) [/ math] tal que

[matemáticas] \ lim_ {m_2 \ to \ infty} a_ {m_2} = -1 [/ matemáticas]

Entonces [math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ cos (\ pi [\ sqrt {5} + 2) ^ n]) [/ math] no existen.

Ahora busquemos [math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ {(\ sqrt {5} + 2) ^ n \} [/ math]

Como [math] \ {(\ sqrt {5} + 2) ^ n \} [/ math] puede tomar cualquier valor en [math] [0, 1) [/ math] para todos [math] n \ in \ mathbb {N} [/ matemáticas]

De manera similar a la anterior, podemos demostrar que [math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ {(\ sqrt {5} + 2) ^ n \} [/ math] no existe.

Reuniendo todos estos hechos obtenemos

[matemática] \ lim_ {n \ to \ infty} \ {(\ sqrt {5} + 2) ^ n \} \ cos (\ pi [\ sqrt {5} + 2) ^ n]) [/ math] no existe.

Answer 4

Suponga que K = (raíz 5 + 2) ^ n, entonces tenemos que encontrar el límite de lo siguiente:

Lim K Cos (pi K) donde K-> infinito

ahora cos pi K = [e ^ i pi K + e ^ -i pi K] / 2 da

Lim K [e ^ i pi K + e ^ -i pi K] / 2

Ahora todavía tenemos un exponente y un producto de K que tiende al infinito, por lo tanto, el límite no existe.