Comencemos volviendo a escribir su problema de manera más simple:
[matemática] ∫ (2cosec (x / 1) −2) dx = [/ matemática]
[matemáticas] ∫ (2csc (x) −2) dx [/ matemáticas]
Ahora podemos aplicar la propiedad conocida como linealidad de integración:
- ¿Cuál es la integración de [math] \ frac {1} {\ sin (2x) + \ sin (x)} [/ math]?
- Deje que [math] \ alpha, \ beta \ in \ mathbb R [/ math] tal que [math] \ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} \ dfrac {x ^ 2 \ sin (\ beta x)} { \ alpha x – \ sin x} = 1 [/ matemáticas]. ¿Cuál es el valor de [matemáticas] 6 (\ alpha + \ beta) [/ matemáticas]?
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[matemáticas] = 2∫csc (x) dx -2∫dx [/ matemáticas]
Vamos a resolver la primera parte:
[matemáticas] 2∫csc (x) dx [/ matemáticas]
Para esta primera parte, hay una fórmula que se encuentra en la Tabla de integrales, que establece que:
[matemáticas] ∫csc (x) dx = -ln | csc (x) + cot (x) | + C [/ matemáticas]
Ahora, apliquémoslo a nuestro problema para obtener los resultados de la primera parte:
[matemáticas] -2ln | csc (x) + cot (x) | + C [/ matemáticas]
Ahora no olvidemos la segunda parte:
[matemáticas] -2∫dx [/ matemáticas]
Si observa una tabla de integrales , verá que:
[matemáticas] ∫dx = x + C [/ matemáticas]
Así que apliquémoslo a nuestro problema para obtener los resultados para la segunda parte:
[matemáticas] -2x + C [/ matemáticas]
Ahora que hemos integrado ambas partes, vamos a juntarlas:
[matemáticas] -2ln | csc (x) + cot (x) | + C-2x + C [/ matemáticas]
Técnicamente, ese es el resultado, pero como probablemente ya sepa, tenemos que simplificarlo.
Primero, si agrega una constante desconocida (C) a otra constante desconocida (C), el resultado será otra constante desconocida (C), por lo tanto, no es necesario escribirla dos veces, por lo que nos queda:
[matemáticas] -2ln | csc (x) + cot (x) | -2x + C [/ matemáticas]
Como tenemos -2 en la primera y segunda parte, podemos factorizarlo y nos quedaremos con:
[matemáticas] -2 (ln (| csc (x) + cot (x) |) + x) + C [/ matemáticas]
Y ese es nuestro resultado.
¡Espero que ayude!