¿Cómo pueden las coordenadas cartesianas relacionar álgebra y geometría? ¿Cuál es la ventaja de la geometría coordinada sobre la geometría euclidiana?

Answer 1

La geometría coordinada nos permite definir objetos geométricos en términos de relaciones entre variables. Estos están sujetos a las reglas del álgebra y, en última instancia, del cálculo, lo que hace que la geometría coordinada sea una herramienta poderosa para la física.

Para un ejemplo altamente simplificado, suponga que desea lanzar un satélite en órbita alrededor del planeta Neptuno. El planeta es un objetivo en movimiento: está a muchos millones de millas de distancia y, además, está orbitando el sol en una órbita elíptica. Esto parece una cuestión de líneas y elipses, ¡perfecto para la geometría! Pero si Neptuno se está moviendo … ¿qué tan lejos del planeta deberías apuntar? Incluso si sabes a dónde apuntar, ¿ cuándo deberías lanzar? La geometría por sí sola no se presta a este problema. La geometría coordinada, por otro lado, maneja esto simplemente definiendo todos los objetos geométricos en términos de relaciones entre variables, lo más importante al agregar una variable de tiempo [math] t [/ math], que nos permitirá responder preguntas como cuando debería lanzarse.

Esto también es práctico para nosotros porque las computadoras son realmente buenas para descifrar números algebraicamente. Cuando las computadoras parecen estar haciendo geometría, por ejemplo, renderizando entornos 3D para videojuegos … lo que realmente están haciendo es procesar álgebra en una variable de tiempo [math] t [/ math].

Como la mayoría de las cosas, el álgebra y la geometría son más fuertes juntas. No son totalmente diferentes entre sí … más bien como diferentes perspectivas de la misma cosa. Los campos de estudio como la geometría algebraica y la topología algebraica han producido algunos resultados que están más allá de mi capacidad de explicación.

Answer 2

Las coordenadas cartesianas pueden describir de manera única cualquier punto en el plano bidimensional en términos de dos coordenadas, [matemática] x [/ matemática], que describe qué tan “cruzado” está un punto, y [matemática] y [/ matemática] que describe cómo “Arriba” un punto es. Las letras [math] x [/ math] y [math] y [/ math] fueron elegidas arbitrariamente por Rene Descartes, el hombre que primero tuvo esta idea.

Ciertas formas geométricas pueden describirse usando ecuaciones en [matemáticas] x [/ matemáticas] o [matemáticas] y [/ matemáticas].

Por ejemplo, una línea horizontal puede ser representada por la ecuación y = k donde k es una constante. Esta ecuación es satisfecha por cada par de coordenadas (x, y) que satisfacen esto; cada coordenada que tiene altura [matemática] k [/ matemática]. Entonces [math] y = k [/ math] representa la línea que es height [math] k. [/ Math]

De hecho, todas las líneas rectas pueden ser dadas por una ecuación. Además de las líneas verticales, cada línea se puede representar en la forma [math] y = mx + c [/ math].

El gradiente de una línea, o la inclinación, es básicamente cuánto sube o baja una línea por cada bit, o puede ser dado por “cambio en [matemáticas] y [/ matemáticas] (altura) dividido por el cambio en [matemáticas ] x [/ math] (hasta qué punto) “.

Si consideramos [matemáticas] y = mx + c [/ matemáticas], entonces si agregamos decir 1 a nuestro valor [matemáticas] x [/ matemáticas] en esta ecuación, [matemáticas] y [/ matemáticas] aumenta en [matemáticas] m [/ matemáticas]. Esto significa que por cada unidad a través de la altura sube [math] m [/ math], y así el gradiente de la línea dada por [math] y = mx + c [/ math] viene dado por [math] m [ /matemáticas]. Ahora establecer [math] x = 0 [/ math] dará el punto en el que la línea cruza el eje [math] y [/ math], que al sustituirlo en la ecuación, vemos cuándo [math] y = c [ /matemáticas].

Claramente, todos los polígonos pueden representarse mediante líneas rectas y, por lo tanto, pueden representarse mediante estas “Ecuaciones cartesianas”.

Las formas más complejas también se pueden representar mediante coordenadas, como círculos o elipses.

Cada círculo tiene un radio [matemática] r [/ matemática]. Imagine un círculo centrado alrededor del origen. Cada punto en el círculo tiene una coordenada [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática]. Según el teorema de Pitágoras, cada punto en el círculo puede ser representado por [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas], que es la ecuación cartesiana de un círculo.

La ventaja de usar estas ecuaciones en lugar de los métodos de geometría euclidiana es que las ecuaciones son mucho menos difíciles conceptualmente y requieren mucho menos ingenio. Encontrar una solución de geometría euclidiana para un problema a menudo requiere dibujar líneas adicionales que obviamente no son relevantes. Hay muchos métodos y teoremas en la geometría euclidiana, cualquiera de los cuales podría ser útil.

Sin embargo, en las coordenadas cartesianas, solo se requiere una habilidad; la habilidad de manipular álgebra hacia una meta final.

Sin embargo, es un proceso largo y desordenado y es muy fácil de estropear. Si se puede evitar, en mi opinión debería, ciertamente en las Olimpiadas, ya que desperdicia un tiempo valioso. En general, no es tan satisfactorio como la geometría euclidiana sintética, que tiene una cierta elegancia al respecto; todo se junta muy bien.

Al final del día, si puede ver una manera de resolver un problema con las coordenadas cartesianas, probablemente debería hacerlo.

¡Espero que esto haya sido de alguna ayuda!

Answer 3

En matemáticas, todo funciona más o menos juntos. Algunos axiomas de la geometría euclidiana pueden ser teoremas en algrebra, muchas fórmulas geométricas, como el área del círculo, el área y el volumen de la especia, el volumen de los conos y las pirámides, se pueden probar utilizando la integración. Pero alguna base de geometría de coordenadas (como la distancia, ) se basan en resultados conocidos de geometría euclidiana (teorema de Pitágoras).

Básicamente, estos son dos aspectos de la misma cosa. Cuál mejor usar totalmente depende de la situación. puede tener un problema sin coordenadas dadas, y de alguna manera elegir su propio origen y vectores base para traducir el problema al álgebra, eso es totalmente legítimo a menos que el problema lo prohíba explícitamente. De usted puede encontrar una solución geométrica pura a un problema dado en álgebra, que también es totalmente legítimo.