¿Qué es [math] \ displaystyle \ int \ frac {t} {1 + t ^ 3} dt [/ math]?

Answer 1

Problema:

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {t} {t ^ 3 + 1} dt [/ matemáticas]

Factorizando el denominador:

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ frac {t} {(t + 1) (t ^ 2-t + 1)} dt [/ matemáticas]

Realización de descomposición de fracción parcial:

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ left (\ frac {t + 1} {3 (t ^ 2-t + 1)} – \ frac {1} {3 (t + 1)} \ right) dt [/ matemáticas]

Aplicando linealidad:

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {3} \ int \ frac {t + 1} {t ^ 2-t + 1} dt- \ frac {1} {3} \ int \ frac {1} { t + 1} dt [/ matemáticas]

---

Ahora estamos resolviendo:

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {t + 1} {t ^ 2-t + 1} dt [/ matemáticas]

Luego, escriba [math] \ displaystyle t + 1 [/ math] como [math] \ displaystyle \ frac {1} {2} (2t-1) + \ frac {3} {2} [/ math] y divida:

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ left (\ frac {2t-1} {2 (t ^ 2-t + 1)} + \ frac {3} {2 (t ^ 2-t + 1} \ right) dt [/ math]

Aplicando linealidad:

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {2} \ int \ frac {2t-1} {t ^ 2-t + 1} dt + \ frac {3} {2} \ int \ frac {1} {t ^ 2-t + 1} dt [/ matemáticas]

---

Sustituir:

[matemáticas] \ displaystyle u = t ^ 2-t + 1 \ rightarrow dt = \ frac {1} {2t-1} du [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ frac {1} {u} du [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ ln (u) [/ matemáticas]

Deshacer la sustitución de [math] \ displaystyle u [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle = \ ln (t ^ 2-t + 1) [/ matemáticas]

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Para resolver [matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {1} {t ^ 2-t + 1} dt [/ matemáticas], complete el cuadrado:

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ frac {1} {\ left (t- \ frac {1} {2} \ right) ^ 2 + \ frac {3} {4}} dt [/ math]

---

Sustituir:

[matemáticas] \ displaystyle u = \ frac {2t-1} {\ sqrt {3}} \ rightarrow dt = \ frac {\ sqrt {3}} {2} du [/ math]

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[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {2} {\ sqrt {3}} \ int \ frac {1} {u ^ 2 + 1} du [/ math]

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Ahora estamos resolviendo:

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {1} {u ^ 2 + 1} du [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ arctan (u) [/ matemáticas]

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Enchufar integrales resueltas:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {2} {\ sqrt {3}} \ int \ frac {1} {u ^ 2 + 1} du [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {2 \ arctan (u)} {\ sqrt {3}} [/ matemáticas]

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Deshacer sustitución:

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {2 \ arctan \ left (\ frac {2t-1} {\ sqrt {3}} \ right)} {\ sqrt {3}} [/ math]

---

Enchufar integrales resueltas:

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {2} \ int \ frac {2t-1} {t ^ 2-t + 1} dt + \ frac {3} {2} \ int \ frac {1} {t ^ 2-t + 1} dt [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {\ ln (t ^ 2-t + 1)} {2} + \ sqrt {3} \ arctan \ left (\ frac {2t-1} {\ sqrt {3}} \ derecha) [/ matemáticas]

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Ahora estamos resolviendo:

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {1} {t + 1} dt [/ matemáticas]

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Sustituya [math] \ displaystyle u = t + 1 \ rightarrow dt = du [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ frac {1} {u} du [/ matemáticas]

Usando nuestro resultado anterior:

[matemáticas] \ displaystyle = \ ln (u) [/ matemáticas]

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Deshacer la sustitución: [matemáticas] \ displaystyle u = t + 1 [/ matemáticas]

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[matemáticas] \ displaystyle = \ ln (t + 1) [/ matemáticas]

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[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {3} \ int \ frac {t + 1} {t ^ 2-t + 1} dt- \ frac {1} {3} \ int \ frac {1} {t +1} dt [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {\ ln (t ^ 2-t + 1)} {6} + \ frac {\ arctan \ left (\ frac {2t-1} {\ sqrt {3}} \ right) } {\ sqrt {3}} – \ frac {\ ln (t + 1)} {3} [/ math]

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Para extender el dominio de la antiderivada, podemos aplicar la función de valor absoluto a los argumentos de las funciones logarítmicas:

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {1} {t ^ 3 + 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ boxed {\ frac {\ ln \ left (\ left | t ^ 2-t + 1 \ right | \ right)} {6} – \ frac {\ ln \ left (\ left | t +1 \ right | \ right)} {3} + \ frac {\ arctan \ left (\ frac {2t-1} {\ sqrt {3}} \ right)} {\ sqrt {3}} + C} [ /matemáticas]

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Finn Frankis me expuso en los comentarios, así que aquí es donde obtuve la respuesta:

Calculadora Integral

Lo escribí en [math] \ LaTeX [/ math].

Answer 2

* A2A

Bueno, tenemos

I = Integral {t / (1 + t ^ (3))} dt

Usando la propiedad, (x + y) = (x ^ (2) -xy + y ^ (2))

I = Integral {t / (1 + t) (1-t + t ^ (2))} dt

Usando fracciones parciales para resolver la cantidad anterior,

t / (1 + t) (1-t + t ^ (2)) = A / (1 + t) + (Bt + C) / (1-t + t ^ (2))

t = A (1-t + t ^ (2)) + (Bt + C) (1 + t)

Comparando los coeficientes de t ^ (2), t, constante, obtenemos,

A + B = 0

-A + B + C = 1

A + C = 0

Resolviendo, obtenemos, A = (- 1/3), B = (1/3), C = (1/3)

I = (-1/3) Integral {1 / (1 + t)} dt + (1/3) Integral {(t + 1) / (1-t + t ^ (2))} dt

I = I1 + I2

I1 = (-1/3) Integral {1 / (1 + t)} dt

I1 = (-1/3) ln | 1 + t | + C

Además, resolviendo I2 por separado,

I2 = (1/3) Integral {(t + 1) / (t ^ (2) -t + 1)} dt

Un poco de ajuste

I2 = (1/6) Integral {(2t-1 + 3) / (t ^ (2) -t + 1)} dt

I2 = (1/6) Integral {(2t-1) / (t ^ (2) -t + 1)} dt + (1/2) Integral {1 / (t ^ (2) -t + 1)} dt

Vamos a sustituir

(t ^ (2) -t + 1) = z

(2t-1) dt = dz

Aplicando completando el cuadrado en 2da integral

I2 = (1/6) Integral {1 / z} dz + (1/2) Integral {1 / [(t-1/2) ^ (2) + 3/4]} dt

I2 = (1/6) ln | z | + (1 / sqrt (3)) arctan (t-1/2 / sqrt (3)) + C

I2 = (1/6) ln | t ^ (2) -t + 1 | + (1 / sqrt (3)) arctan (2t-1 / sqrt (3)) + C

Finalmente

I = (-1/3) ln | 1 + t | + (1/6) ln | t ^ (2) -t + 1 | + (1 / sqrt (3)) arctan (2t-1 / sqrt (3)) + C

Answer 3

Tenemos [matemáticas] f (t) = [/ matemáticas] [matemáticas] \ dfrac {t} {t ^ 3 + 1} [/ matemáticas]

Necesitamos encontrar la integral indefinida:

[matemáticas] \ int f (t) dt = F ^ {⋆} (t) [/ matemáticas]

Esto resulta ser:

[matemáticas] \ dfrac {\ ln \ left (\ left | t ^ 2-t + 1 \ right | \ right)} {6} – \ dfrac {\ ln \ left (\ left | t + 1 \ right | \ right)} {3} + \ dfrac {\ arctan \ left (\ frac {2t-1} {\ sqrt {3}} \ right)} {\ sqrt {3}} [/ math]

Answer 4

Escribió la respuesta en términos de x a medida que me mezclo con los signos ts y + mientras escribo. Espero que esto ayude

Answer 5