Ponga [matemáticas] a = e_2e_3, b = e_1e_3, c = e_1e_2 [/ matemáticas]. También ponga (notando abuso, y suponiendo que x, y, z son reales) [matemática] x, y, z = x ^ 2, y ^ 2, z ^ 2 [/ matemática]. Entonces, para [matemáticas] a, b, c> 1; x, y, z \ geq 0; x + y + z = 1 [/ math], queda por probar [math] \ sum (cb) ^ 2 (x-yz) \ geq 0 [/ math].
Homogeneización, [matemática] \ sum (cb) ^ 2 (x-yz) [/ matemática]
[matemáticas] = \ sum (cb) ^ 2 (x ^ 2 + xy + yz – xz) [/ matemáticas]
[matemática] = \ sum (cb) ^ 2x ^ 2 + \ sum xy [(cb) ^ 2 + (ac) ^ 2 – (ba) ^ 2] [/ math]
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[matemática] = \ sum (cb) ^ 2x ^ 2 + 2 \ sum xy (ca) (cb) [/ math]
Ahora escriba [math] \ alpha = cb, \ beta = ac [/ math]. Continuo,
[matemáticas] \ sum (cb) ^ 2x ^ 2 + 2 \ sum xy (ca) (cb) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ alpha ^ 2 x ^ 2 + \ beta ^ 2 y ^ 2 + (\ alpha + \ beta) ^ 2 z ^ 2 – 2 xy \ alpha \ beta + 2yz \ beta (\ alpha + \ beta) + 2zx \ alpha (\ alpha + \ beta) [/ math]
[matemáticas] = (\ alpha (x + z)) ^ 2 + (\ beta (y + z)) ^ 2 + 2 \ alpha \ beta (z ^ 2 + zx + zy – xy) [/ matemáticas].
Pero debido a que [matemáticas] (\ alpha (x + z) – \ beta (y + z)) ^ 2 \ geq 0 [/ matemáticas], tenemos
[matemáticas] (\ alpha (x + z)) ^ 2 + (\ beta (y + z)) ^ 2 \ geq 2 \ alpha \ beta (x + z) (y + z) = 2 \ alpha \ beta ( xy + z) \ geq 2 \ alpha \ beta (xy – z) [/ math]
como se desee.