Cómo demostrar que [math] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {(2n-1) ^ 2} = \ dfrac {\ pi ^ 2} {8} [/ math ]

Answer 1

Tomemos una función [math] \ psi (x) [/ math] y la definimos como …

[matemáticas] \ psi (x) = \ dfrac {sin {\ sqrt {x}}} {\ sqrt {x}} [/ matemáticas]

Por lo tanto, podemos definir [math] \ psi (x) [/ math] a partir de [math] Taylor [/ math] [math] Series [/ math] de [math] sin (x) [/ math] como,

[matemáticas] \ psi (x) = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {k}} × {\ dfrac {x ^ k} {(2k + 1)!}} [ /matemáticas]

donde [matemáticas] x ≠ 0 [/ matemáticas]

Claramente,

[matemática] \ psi (x) = 0 [/ matemática] [matemática] \ forall [/ matemática] [matemática] x \ in [/ matemática] [matemática] (n \ pi) ^ 2 [/ matemática] [matemática] n \ en N [/ matemáticas]

Deje que el coeficiente con el grado más alto en [matemáticas] \ psi (x) [/ matemáticas] sea [matemáticas] a [/ matemáticas]

Deje [math] r_i [/ ​​math] la raíz i-ésima, luego la suma del producto de las raíces tomadas [math] n-1 [/ math] a la vez se da como

[matemáticas] \ sum {r_1r_2r_3… ..r_ {n-1}} = \ dfrac {(- 1) ^ n} {6a} [/ matemáticas]

Y, producto de todas las raíces es,

[matemáticas] \ Pi_ {k = 1} ^ {\ infty} {r_i} = \ dfrac {(- 1) ^ n} {a} [/ matemáticas]

Ahora podemos decir que ninguna de las raíces de nuestra función es igual a cero …

[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} {\ dfrac {1} {r_k}} = \ dfrac {\ sum {r_1r_2r_3… ..r_ {n-1}}} {\ Pi_ {k = 1} ^ {\ infty} {r_i}} [/ math]

[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} {\ dfrac {1} {r_k}} = \ dfrac {(- 1) ^ n} {6a} \ dfrac {a} {(- 1) ^ n} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} {\ dfrac {1} {r_k}} = \ dfrac {1} {6} [/ matemáticas]

O podemos decir,

[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {\ dfrac {1} {n ^ 2 \ pi ^ 2}} = \ dfrac {1} {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {\ dfrac {1} {n ^ 2}} = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {\ dfrac {1} {(2n-1) ^ 2}} + \ dfrac {1} {4} \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {\ dfrac {1} {n ^ 2}} = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} [/ math]

[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {\ dfrac {1} {(2n-1) ^ 2}} = \ dfrac {\ pi ^ 2} {8} [/ matemáticas]

[matemáticas] Tada …:) [/ matemáticas]

Answer 2

Deje [math] S = \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {(2n-1) ^ 2} [/ math]

[matemática] \ Longrightarrow S = \ frac {1} {1 ^ 2} + \ frac {1} {3 ^ 2} + \ frac {1} {5 ^ 2}… [/ matemática]

Sabemos que las raíces de la función coseno están dadas por [math] \ frac {(2n + 1) \ pi} {2} [/ math]

Según el teorema de factorización de Weierstrass, podemos expresar la función coseno como un polinomio infinito que tiene las mismas raíces que la función coseno de la siguiente manera: [1]

[matemáticas] \ cos x = (1- \ frac {x} {\ frac {\ pi} {2}}) (1+ \ frac {x} {\ frac {\ pi} {2}}) (1- \ frac {x} {\ frac {3 \ pi} {2}}) (1+ \ frac {x} {\ frac {3 \ pi} {2}}) (1- \ frac {x} {\ frac {5 \ pi} {2}}) (1+ \ frac {x} {\ frac {5 \ pi} {2}})… [/ matemáticas]

[matemáticas] = (1- \ frac {2x} {\ pi}) (1+ \ frac {2x} {\ pi}) (1- \ frac {2x} {3 \ pi}) (1+ \ frac { 2x} {3 \ pi}) (1- \ frac {2x} {5 \ pi}) (1+ \ frac {2x} {5 \ pi})… [/ matemáticas]

[matemáticas] = (1- \ frac {4x ^ 2} {\ pi ^ 2}) (1- \ frac {4x ^ 2} {9 \ pi ^ 2}) (1- \ frac {4x ^ 2} { 25 \ pi ^ 2})… [/ matemáticas]

Observe que, al abrir los corchetes, el coeficiente de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] viene dado por:

[matemáticas] – \ frac {4} {\ pi ^ 2} (\ frac {1} {1 ^ 2} + \ frac {1} {3 ^ 2} + \ frac {1} {5 ^ 2} …) [/matemáticas]

[matemáticas] = – \ frac {4} {\ pi ^ 2} \ veces S [/ matemáticas]

También podemos escribir la función coseno en términos de su expansión de Taylor:

[matemáticas] \ cos x = 1 – \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 4} {4!} – \ frac {x ^ 6} {6!} +… [/ matemáticas]

Al igualar los coeficientes de [matemática] x ^ 2 [/ matemática], obtenemos:

[matemáticas] – \ frac {4} {\ pi ^ 2} \ veces S = \ frac {-1} {2} [/ matemáticas]

Al reorganizar, obtenemos:

[matemática] \ en caja {S = \ frac {\ pi ^ 2} {8}} [/ matemática]

Notas al pie

[1] http://www.ijmsi.org/Papers/Volu …

Answer 3

Me imagino que sabes eso

[matemáticas] \ frac {1} {1 ^ 2} + \ frac {1} {2 ^ 2} + \ frac {1} {3 ^ 2} +… = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ 2} = \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ math]

La pregunta requiere que encontremos la suma de cuadrados de recíprocos de números impares solamente. Si encontramos la suma de los números pares y la eliminamos de la suma total, deberíamos tener lo que necesitamos.

Podemos encontrar la suma de números enteros pares si dividimos la serie original entre 4, tendremos

[matemáticas] \ frac {1} {2 ^ 2} + \ frac {1} {4 ^ 2} + \ frac {1} {6 ^ 2} +… = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {(2n) ^ 2} = \ frac {\ pi ^ 2} {24} [/ math]

Si resta la suma de los términos pares de todos los términos, solo se omitirán los términos impares.

[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {(2n) ^ 2} + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {(2n-1 ) ^ 2} – \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {(2n) ^ 2} = \ frac {\ pi ^ 2} {6} – \ frac {\ pi ^ 2} {24} = \ frac {\ pi ^ 2} {8} [/ math]

Answer 4

Puede que sepas

[matemáticas] 1 / 1² + 1 / 2² + 1 / 3² +… .. = π² / 6 [/ matemáticas]

Deje [matemáticas] 1 / 1² + 1 / 3² + 1 / 5² +… .. = S [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 / 1² + 1 / 2² + 1 / 3² +… .. = π² / 6 [/ matemáticas]

=> ([matemática] 1 / 1² + 1 / 3² + 1 / 5² +…) + (1 / 2² + 1 / 4² + 1 / 6² +…) = π² / 6 [/ matemática]

=> [matemática] S + ¼ (1 / 1² + 1 / 2² + 1 / 3² + 1 / 4²…) = π² / 6 [/ matemática]

=> [matemáticas] S + ¼ * π² / 6 = π² / 6 [/ matemáticas]

=> [matemáticas] S = ¾ * π² / 6 = π² / 8 [/ matemáticas]

Entonces el valor de la suma es π² / 8 de hecho