Dado que todas las entidades son números reales y:
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} a_n = a \ tag * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} b_n = b \ tag * {} [/ matemáticas]
tenemos que demostrar que:
- ¿Cuál es el valor de [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] si [matemática] a ^ 2-b ^ 2 = 90 [/ matemática]?
- ¿Cómo podrías probar la no negatividad de [matemáticas] (e_1 (e_2-e_3)) ^ 2 (x ^ 2- (yz) ^ 2) + (e_2 (e_1-e_3)) ^ 2 (y ^ 2- (xz) ^ 2) + (e_3 (e_2-e_1)) ^ 2 (z ^ 2- (xy) ^ 2) [/ math], donde [math] x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 [/ math ] y [matemáticas] e_1, e_2, e_3> 1 [/ matemáticas]?
- Cómo demostrar que [math] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {(2n-1) ^ 2} = \ dfrac {\ pi ^ 2} {8} [/ math ]
- Cómo encontrar los puntos para y = 2sin (1 / 2x + pi / 4)
- Cómo evaluar [matemáticas] \ int \ dfrac {\ text {d} x} {\ sqrt {2-3x-4x ^ 2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} a_nb_n = ab \ tag * {} [/ matemáticas]
Prueba: debemos mostrar que dado un número positivo arbitrario [math] \ epsilon [/ math] siempre podemos encontrar un número [math] N [/ math] tal que para cualquier [math] n \ geqslant N [/ math]:
[matemáticas] | a_n \ cdot b_n – a \ cdot b | <\ epsilon \ tag {1} [/ math]
Suma y resta, por ejemplo, [math] a_n \ cdot b [/ math] a la expresión en el lado izquierdo de ( 1 ):
[matemáticas] | a_n b_n – ab | = | a_n b_n + a_nb – a_nb – ab | = \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] | (a_n b_n – a_nb) + (a_nb – ab) | = \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] | a_n (b_n – b) + b (a_n – a) | \ leqslant \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] | a_n (b_n – b) | + | b (a_n – a) | = \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] | a_n | \ cdot | b_n – b | + | b | \ cdot | a_n – a | \ tag {2} [/ math]
Ahora en ( 2 ) tenemos las magnitudes cuyos límites superiores podemos controlar:
- por el teorema que establece que: si una secuencia es convergente (tiene un límite finito) entonces está limitada tenemos que | [matemática] a_n | \ leqslant U_a [/ math] donde [math] U_a> 0 [/ math] es un límite superior de una secuencia convergente [math] a_n [/ math]
- [matemáticas] | b_n – b | <\ epsilon [/ math] para un número arbitrario positivo (real) [math] \ epsilon [/ math]
- [matemáticas] | a_n – a | <\ epsilon [/ math] para un número arbitrario positivo (real) [math] \ epsilon [/ math]
En consecuencia, nuestro trabajo es preparar algunos épsilones convenientes para los últimos dos casos en la lista anterior de modo que sumen una magnitud menor que [math] \ epsilon [/ math].
Por ejemplo, para la secuencia [math] b_n [/ math], dado que es convergente, existe un número [math] N_b [/ math] tal que para todos [math] n \ geqslant N_b [/ math]:
[matemáticas] | b_n – b | <\ dfrac {\ epsilon} {2U_a} \ tag * {} [/ math]
Es tentador hacer que el épsilon para la secuencia [math] a_n [/ math] sea lo siguiente:
[matemáticas] \ dfrac {\ epsilon} {2 | b |} \ tag * {} [/ matemáticas]
pero ¿y si es cero? Lanzamos un extra [math] 1 [/ math] en el denominador:
[matemáticas] \ dfrac {\ epsilon} {2 | b | + 1} \ tag * {} [/ math]
Entonces, dado que [math] a_n [/ math] es convergente, existe un número [math] N_a [/ math] tal que para todos [math] n \ geqslant N_a [/ math]:
[matemáticas] | a_n – a | <\ dfrac {\ epsilon} {2 | b | + 1} \ tag * {} [/ math]
Por lo tanto, si elegimos un número [matemático] N [/ matemático] tal que:
[matemáticas] N = \ text {max} \ {N_a, N_b \} \ tag * {} [/ matemáticas]
entonces para todos [math] n \ geqslant N [/ math]:
[matemáticas] | a_n \ cdot b_n – a \ cdot b | \ leqslant U_a \ dfrac {\ epsilon} {2U_a} + | b | \ dfrac {\ epsilon} {2 | b | + 1} <\ epsilon \ tag * {} [/ math]
lo que se requería para probar.