¿Qué es [matemáticas] (a + bi) ^ n [/ matemáticas]?

Answer 1

Considere la representación estándar de un complejo no. :

[matemáticas] Z = R * e ^ {iθ} [/ matemáticas]

En una expansión adicional, [matemática] e ^ {iθ} [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] (cosθ + isinθ) [/ matemática]

Ahora multiplique y divida el enunciado dado [math] (a + bi) ^ n [/ math] por [math] (a ^ {2} + b ^ {2}) ^ {n / 2} [/ math]

Entonces viene la ecuación be:

[matemáticas] (a ^ {2} + b ^ {2}) ^ {n / 2} [/ matemáticas] [matemáticas] * [/ matemáticas] [matemáticas] ((a + bi) / ([/ matemáticas] [ matemáticas] a ^ {2} + b ^ {2}) ^ {1/2}) ^ n [/ matemáticas]

Entonces esto está en la forma →

[matemáticas] R * e ^ {inθ} [/ matemáticas]

Dónde

[matemáticas] R [/ matemáticas] [matemáticas] = (a ^ {2} + b ^ {2}) ^ {n / 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] cosθ [/ matemáticas] [matemáticas] = {(a / (a ​​^ {2} + b ^ {2}) ^ {1/2}}) ^ n [/ matemáticas]

[matemática] sinθ [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] {(b / (a ​​^ {2} + b ^ {2}) ^ {1/2}} [/ matemática] [matemática] ) [/ matemáticas] [matemáticas] ^ n [/ matemáticas]

Ahora esto representará un punto en el plano y el plano.

Answer 2

Podemos hacer esto de dos maneras; a través de la forma polar o la expansión binomial.

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Expansión Binomial

Comencemos con el teorema binomial que establece lo siguiente;

[matemáticas] \ left (a + b \ right) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ frac {n!} {k! \ left (n – k \ right)!} a ^ {nk} b ^ {k} [/ math]

La expansión binomial se puede generalizar mediante el uso de la función gamma en lugar del factorial; pero lo ignoraremos por ahora. Enchufar para imaginario [matemática] b [/ matemática].

[matemáticas] \ left (a + ib \ right) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ frac {n! \ left (i \ right) ^ k} {k! \ left (n – k \ right)!} a ^ {nk} b ^ {k} [/ math]

Y es así de simple.

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Forma polar / Euler

Aquí simplemente reemplazamos [math] a + ib [/ math] con su forma polar;

[matemáticas] a + ib = | a + ib | e ^ {i \ theta} [/ math]

Entonces podemos simplemente llevar esto a un poder;

[matemáticas] \ left (a + ib \ right) ^ n = | a + ib | ^ n {e} ^ {en \ theta} [/ math]

Answer 3

Gracias por el A2A!

Deje [math] r = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} [/ math] y [math] \ theta = \ arg (a + bi) [/ math]. Entonces:

[matemática] a + bi = r \ exp (i \ theta + i2 \ pi k) [/ matemática] donde [matemática] k \ in \ mathbb {Z} [/ matemática]

Entonces:

[matemáticas] (a + bi) ^ n = r ^ n \ exp (i \ theta n + i2 \ pi kn) [/ matemáticas]

Answer 4

Las reglas habituales todavía se aplican. Si ayb son números reales, i es la raíz cuadrada de -1 yn es un número entero no negativo, entonces
(a + bi) ^ n = (n C 0) (bi) ^ 0 a ^ n + (n C 1) (bi) ^ 1 a ^ (n – 1) + (n C 2) (bi) ^ 2 a ^ (n – 2) +… + (n C n) (bi) ^ na ^ 0. Por ejemplo, si n = 4 entonces
(a + bi) ^ 4
= (4 C 0) (bi) ^ 0 a ^ 4 + (4 C 1) (bi) ^ 1 a ^ 3 + (4 C 2) (bi) ^ 2 a ^ 2 + (4 C 3) (bi ) ^ 3 a ^ 1 + (4 C 4) (bi) ^ 4 a ^ 0
= a ^ 4 + 4a ^ 3bi – 6a ^ 2b ^ 2 – 4ab ^ 3i + b ^ 4
= (a ^ 4 – 6a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4) + (4a ^ 3b – 4ab ^ 3) i

Nota: a y b generalmente se consideran números reales, pero podrían ser números complejos y lo anterior seguiría funcionando. Además, creo que n puede ser cualquier número real, aunque si es negativo o no integral, la serie no está cerrada y puede no converger.

Answer 5

Tengo que usar la fórmula de Euler y luego realizar una exponenciación compleja.