Cómo demostrar que [matemáticas] 2 ^ n [/ matemáticas] nunca puede ser un múltiplo de [matemáticas] 3 [/ matemáticas]

Answer 1

¡Probemos la inducción matemática!

---

Una introducción a la inducción matemática (omita si ya está familiarizado con ella)

Restringiremos esto a proposiciones de la forma:

[matemáticas] \ forall n \ in \ N: P (n) [/ matemáticas]

[matemática] P (n) [/ matemática] es una declaración matemática cuyo valor de verdad depende de [matemática] n [/ matemática]. Tales declaraciones se llaman predicados . Un ejemplo es la propuesta que desea probar / refutar:

[math] \ forall n \ in \ N: 3 \ mid 2 ^ {n} [/ math], donde [math] 3 \ mid 2 ^ {n} [/ math] es el predicado.

Definiendo [matemáticas] 0 \ neq a \ mid b \ iff (\ exist q \ in \ Z: b = qa) [/ math].

El principio de inducción matemática, que es uno de los axiomas de Peano, establece que dada una proposición en dicha forma y un número [matemático] b \ in \ N [/ matemático] para el cual es válido, [matemático] (P (n) \ implica P (n + 1)) \ implica (\ forall n \ in \ N, n \ geq b: P (n)) [/ math]. Esa cadena de símbolos geniales tiene sentido intuitivo si lo piensas. Usted descubrió cierta afirmación que depende de un número natural [matemática] n [/ matemática], [matemática] P (n) [/ matemática], es verdadera para un número natural [matemática] b [/ matemática]. Es decir, no sabe si [matemática] P (n) [/ matemática] es válida para todas [matemática] n [/ matemática], pero sí sabe que [matemática] P (b) [/ matemática] es verdadera, para un cierto número [matemática] b [/ matemática] que encontraste. Luego, descubres que si [matemática] P (n) [/ matemática] se mantiene, entonces [matemática] P (n + 1) [/ matemática] tiene que mantenerse también. Conclusión: como [matemática] P (b) [/ matemática] se mantiene, también lo hace [matemática] P (b + 1) [/ matemática] . Como [math] P (b + 1) [/ math] se mantiene, también [math] P (b + 1 + 1) = P (b + 2) [/ math] . Y ahí tienes una cadena de implicaciones: eliminar el primer elemento te asegura que todos los demás caerán en un efecto dominó.

[matemática] P (b) \ implica P (b + 1) \ implica P (b + 2) \ implica P (b + 3) \ implica P (b + 4) \ implica… [/ matemática]

---

Ahora, al problema:

[matemática] \ forall n \ in \ N: (\ nexists k \ in \ N: 3k = 2 ^ n) [/ math]

Nuestro predicado es:

[matemática] P (n): ([/ matemática] [matemática] \ nexistas k \ in \ N: 3k = 2 ^ n) [/ matemática]

[matemática] P (0) [/ matemática] se cumple claramente: no existe una [matemática] k [/ matemática] natural tal que [matemática] 3k = 1 [/ matemática]. Este paso obtiene la base del nombre.

Para lo que se llama el paso inductivo , podemos suponer que [matemática] P (n) [/ matemática] se mantiene y ver si eso implica que [matemática] P (n + 1) [/ matemática] también se cumple.

[matemáticas] 3k = 2 ^ {n + 1} = 2 \ cdot2 ^ {n} [/ matemáticas], por propiedades de exponenciación.

Como la mano derecha es par, [math] k [/ math] debe ser par. Dividiendo ambos lados por [matemáticas] 2 [/ matemáticas].

[matemáticas] \ dfrac {3k} {2} = 2 ^ {n} [/ matemáticas]

Dividiendo ambos lados por 3:

[matemáticas] \ dfrac {k} {2} = \ dfrac {2 ^ {n}} {3} [/ matemáticas]

Debido a que se nos permite suponer [matemáticas] P (n) [/ matemáticas] para ver si eso implica [matemáticas] P (n + 1) [/ matemáticas], [matemáticas] \ dfrac {2 ^ {n}} {3 } [/ math] no es un número entero. Pero [math] k / 2 [/ math] debería ser un número entero, ya que [math] k [/ math] tiene que ser par. Por lo tanto, llegamos a una contradicción y [matemáticas] P (n) \ implica P (n + 1) [/ matemáticas].

Por lo tanto, [math] \ forall n \ in \ N: (\ nexists k \ in \ N: 3k = 2 ^ n) [/ math] es verdadero.

Answer 2

Honestamente, no hay nada que demostrar aquí, ya que esto se deriva inmediatamente del Teorema fundamental de la aritmética, que hoy en día se conoce más comúnmente como el teorema de factorización único para el anillo de enteros . La palabra clave aquí es la palabra única .

Suponiendo este resultado fundamental, una ‘prueba’ sería así:

Como [math] 2 ^ n [/ math] se factoriza de forma única en un producto de [math] n [/ math] dos, todos los cuales son números primos, entonces [math] 3 [/ math] (un primo diferente) puede nunca sea un factor de [matemáticas] 2 ^ n [/ matemáticas]. QED

Answer 3

Puede usar la prueba que el usuario 11795953464449765437 proporciona, por supuesto. Pero esto es algo que se puede probar fácilmente, utilizando la prueba por inducción.

Base ([matemática] n = 1 [/ matemática]): [matemática] 2 ^ 1 = 2 [/ matemática] no es divisible por 3.
Ahora, suponga que [math] 2 ^ {n-1} [/ math] no es divisible por [math] 3 [/ math], para algunos [math] n [/ math]. En ese caso [matemática] 2 ^ {n} = 2 ^ {n-1} \ cdot 2 [/ matemática], no es divisible por [matemática] 3 [/ matemática], ya que tampoco [matemática] 2 ^ {n- 1} [/ math] es divisible por [math] 3 [/ math], ni [math] 2. [/ math] Eso concluye la prueba, y vemos que [math] 2 ^ {n} [/ math] no es divisible por [matemática] 3 [/ matemática], para cualquier [matemática] n [/ matemática].

Answer 4

Voy a tratar de abordar esto desde una dirección diferente, que con suerte será accesible sin demasiados conocimientos previos (por ejemplo, usando las propiedades de números pares e impares bajo multiplicación, en lugar de algo como la factorización prima única, que es menos intuitiva )

Comencemos pretendiendo que [matemáticas] 2 ^ n [/ matemáticas] podría ser un múltiplo de 3, es decir, hay algún número entero positivo [matemáticas] n [/ matemáticas] para el cual [matemáticas] 2 ^ n = 3 \ veces k [ / math], donde [math] k [/ math] también es un número entero.

Ahora, veamos esa ecuación. El lado izquierdo, [matemáticas] 2 ^ n [/ matemáticas], es claramente un número par, lo que significa que el lado derecho también lo es. Pero, 3 es impar, y el producto de dos números impares es impar, lo que significa que [matemáticas] k [/ matemáticas] debe ser par.

Dado que [math] 2 ^ n [/ math] y [math] k [/ math] son ​​pares, podemos dividir ambos por 2, y el resultado será una ecuación igualmente válida que todavía está en términos de enteros:

[matemáticas] 2 ^ {n-1} = 3 \ veces (k / 2) [/ matemáticas].

Pero mira esto: dado que [math] k / 2 [/ math] sigue siendo un número entero, eso significa que 3 no solo divide [math] 2 ^ n [/ math], sino que también divide [math] 2 ^ {n-1} [/ matemáticas]! Por lo tanto, podemos continuar jugando este juego hasta que ambos lados de la ecuación ya no sean iguales, es decir, cuando el lado izquierdo finalmente llegue a [matemática] 2 ^ 0 = 1 [/ matemática]. Pero 1 no es un múltiplo de 3, por lo que hemos llegado a una contradicción, lo que demuestra que nuestra suposición inicial es falsa. (Puede llegar a este resultado más rápido definiendo [math] n [/ math] como el valor más pequeño que funciona, de modo que [math] n-1 [/ math] que funcione igual de bien es inmediatamente una contradicción).

O, para decirlo de otra manera: podemos seguir tomando factores de 2 de ambos lados de la ecuación hasta que los valores ya no sean iguales. En el lado derecho, ninguno de esos factores de 2 puede “salir” del 3, porque ya es extraño. Entonces, el lado derecho nunca puede estar por debajo de 3 (porque es 3 veces un número entero positivo), pero el lado izquierdo llega a 1, por lo que los dos no pueden ser iguales.

Answer 5

Si n es un número entero positivo, podemos emplear el teorema fundamental de la aritmética: cada número entero mayor que 1 es primo en sí mismo o es producto de números primos, y ese producto es único. Si un número tiene la forma [matemática] 2 ^ n [/ matemática], entonces su factorización prima también es claramente [matemática] 2 ^ n [/ matemática], y por lo tanto no contiene factores de 3.

Si n es cero, entonces [matemática] 2 ^ n = 2 ^ 0 = 1 [/ matemática], que no es múltiplo de 3.

Si n es un entero negativo o no entero, entonces [matemática] 2 ^ n [/ matemática] no es un entero en absoluto y, por lo tanto, claramente no puede ser un múltiplo de 3.

Answer 6

Dividamos [matemáticas] 2 ^ n [/ matemáticas] por [matemáticas] 3 [/ matemáticas].

[matemáticas] 2 \ equiv-1 \ pmod {3} [/ matemáticas] y así:

[matemáticas] 2 ^ n \ equiv (-1) ^ n \ pmod3 [/ matemáticas].

Entonces, cuando [matemática] n [/ matemática] es par el resto por [matemática] 3 [/ matemática] es 1. Y cuando [matemática] n [/ matemática] es impar, el resto es [matemática] 2 [/ matemática] . Nunca es [matemáticas] 0 [/ matemáticas], por lo que nunca es un múltiplo de [matemáticas] 3 [/ matemáticas].

¡Espero que esto ayude!

Answer 7

(Dando por sentado que n denota un número natural)

Si 2 ^ n fuera un múltiplo de 3, podríamos escribir: 2 ^ n = 3 * k, con k entero.

Pero la fracción k = 2 * … * 2 (n veces) / 3 no puede reducirse más (ya que no hay 3 en el numerador).

Entonces k no puede ser entero: una contradicción.

Answer 8

El teorema fundamental de la aritmética implica que cada número entero> 1 es un primo o puede expresarse como un producto de solo primos.

Entonces [math] 2 ^ n [/ math] obviamente solo tiene dos en su factorización prima, y ​​[math] 3 [/ math] es primo, y como no son dos, no está en la factorización de [math] 2 ^ n [/ math], por lo que no es un factor.

Answer 9

2 ^ n siempre será un número par. Para saber si un número es divisible por tres, agrega los dígitos del número y si la suma de los dígitos es divisible por tres, el número también es divisible por tres. 2 ^ n nunca puede dar como resultado una respuesta donde la suma de los dígitos es divisible por tres.

Answer 10

Aquí hay una prueba geométrica “simple” abrumadora pero divertida que leí de Martin Gardner:

Considera un ángulo en el avión. Tenemos dos herramientas: una regla y una brújula.

Hay un proceso bien conocido para bisecar un ángulo (ver comentario). Podemos repetir este proceso en cada ángulo, dividiendo el ángulo original en 4, 8 o 16 ángulos iguales. Entonces podemos dividir claramente este ángulo en 2 ^ n ángulos iguales.

Si 2 ^ n era un múltiplo de 3 en algún momento, digamos 2 ^ n = 3k. Luego considere los ángulos pequeños k superiores, el k medio y el k inferior. ¡Hemos trisecado el ángulo original! Pero es bien sabido que esto no es posible usando solo una regla y una brújula (se requiere prueba). Por lo tanto, 2 ^ n nunca es un múltiplo de 3.

Answer 11

Una cosa que puede hacer es expandir 2 ^ n como (3–1) ^ n usando el Teorema binomial. Después de expandirse, encontrará que de los términos (n + 1) en la expansión, puede tomar 3 comunes de n, y obtendrá 1 como el término restante (n + 1). Por lo tanto, la expansión podría escribirse como 3h + 1, que no puede ser un múltiplo de 3.

Por lo tanto demostrado.

Answer 12

El teorema fundamental de la aritmética establece que cualquier número entero positivo puede expresarse como un producto único de números primos.

Cualquier número que sea múltiplo de 3 tiene la forma 3 × n donde n es una factorización prima dada, o 1 o 0.

2 ^ n ya es una factorización prima única, y debido a que 3 no está en la factorización prima, no hay forma de expresarla en la forma 3 × n.

Answer 13

Realmente no hay nada que demostrar. La factorización prima de 2 ^ n es 2 ^ n, y no contiene 3.

Answer 14

Puede usar el teorema binomial para expandir 2 ^ n = (3–1) ^ n. Verá que todos los términos menos uno, (-1) ^ n, son múltiplos de 3. Finalmente tenga en cuenta que

(-1) ^ n + (múltiplo de 3)

no es múltiplo de 3.

Answer 15

Apliquemos el concepto de módulo

2≡ (−1) mod3, entonces 2 ^ n≡ (−1) ^ nmod3 que no es igual a 0 🙂

Answer 16

[matemáticas] 2 \ equiv (-1) \ mod 3, [/ matemáticas] así que [matemáticas] 2 ^ n \ equiv (-1) ^ n \ mod3 \ not \ equiv0 [/ matemáticas]

Answer 17

Sencillo:

sabemos: 2 = -1 MOD 3

entonces, 2 ^ n = (-1) ^ n MOD 3

(-1) ^ n nunca puede ser 0 (para cualquier número entero). Entonces, esto se prueba aquí.