¿Qué es la integración de [math] \ displaystyle \ frac {\ sin ^ 6x + \ cos ^ 6x} {\ sin ^ 2x \ cos ^ 2x} [/ math]?

Answer 1

Tengo que romper esta mierda …

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} \ int \ dfrac {\ sin ^ 6x + \ cos ^ 6x} {\ sin ^ 2x \ cos ^ 2x} \, dx & = \ int \ dfrac {\ sin ^ 4x } {\ cos ^ 2x} \, dx + \ int \ dfrac {\ cos ^ 4x} {\ sin ^ 2x} \, dx \\ & = \ int \ dfrac {(1- \ cos ^ 2x) ^ 2} { \ cos ^ 2x} \, dx + \ int \ dfrac {(1- \ sin ^ 2x) ^ 2} {\ sin ^ 2x} \, dx \\ & = \ int \ dfrac {1+ \ cos ^ 4x-2 \ cos ^ 2x} {\ cos ^ 2x} \, dx + \ int \ dfrac {1+ \ sin ^ 4x-2 \ sin ^ 2x} {\ sin ^ 2x} \, dx \\ & = \ int \ sec ^ 2x \, dx + \ int \ cos ^ 2x \, dx- \ int 2 \, dx + \ int \ csc ^ 2x \, dx + \ int \ sin ^ 2x \, dx- \ int 2 \, dx \\ & = \ int \ sec ^ 2x \, dx + \ dfrac {1} {2} \ int (1+ \ cos 2x) \, dx- \ int 4 \, dx + \ int \ csc ^ 2x \, dx + \ dfrac {1} { 2} \ int (1- \ cos 2x) \, dx \\ & = \ tan x + \ dfrac {x} {2} + \ dfrac {\ sin 2x} {4} -4x- \ cot x + \ dfrac {x } {2} – \ dfrac {\ sin 2x} {4} + C \\ & = \ tan x- \ cot x-3x + C \ end {split} \ end {ecuación} \ tag * {} [/ math ]

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El regreso de Spidey …

[matemáticas] \ begin {align} I & = \ int \ dfrac {\ sin ^ 6x + \ cos ^ 6x} {\ sin ^ 2x \ cos ^ 2x} \ mathrm dx \\ & = \ int \ dfrac {(\ sin ^ 2x) ^ 3 + (\ cos ^ 2x) ^ 3} {\ sin ^ 2x \ cos ^ 2x} \ mathrm dx \\ & = \ int \ dfrac {(\ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x) (\ sin ^ 4x- \ sin ^ 2x \ cos ^ 2x + \ cos ^ 4x)} {\ sin ^ 2x \ cos ^ 2x} \ mathrm dx \\ & = \ int \ dfrac {(\ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x) ^ 2 -3 \ sin ^ 2x \ cos ^ 2x} {\ sin ^ 2x \ cos ^ 2x} \ mathrm dx \\ & = \ begin {cases} \ displaystyle \ int \ left (\ dfrac1 {\ dfrac14 \ sin ^ 22x} -3 \ right) \, \ mathrm dx \\\ displaystyle \ int \ dfrac {\ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x} {\ sin ^ 2x \ cos ^ 2x} -3 \, \ mathrm dx \ end {cases} \\ & = \ begin {cases} -2 \ cot 2x-3x + C \\\ tan x- \ cot x-3x + C \ end {cases} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Answer 2

Deje que [matemáticas] I = \ int \ frac {\ sin ^ 6 (x) + \ cos ^ 6 (x)} {\ sin ^ 2 (x) \ cos ^ 2 (x)} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int \ frac {\ sin ^ 4 (x)} {\ cos ^ 2 (x)} + \ frac {\ cos ^ 4 (x)} {\ sin ^ 2 (x)} \, dx [/matemáticas]

[matemáticas] = \ int \ sin ^ 2 (x) \ tan ^ 2 (x) + \ cos ^ 2 (x) \ cot ^ 2 (x) \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int \ sin ^ 2 (x) (\ seg ^ 2 (x) – 1) + \ cos ^ 2 (x) (\ csc ^ 2 (x) – 1) \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int \ tan ^ 2 (x) – \ sin ^ 2 (x) + \ cot ^ 2 (x) – \ cos ^ 2 (x) \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int \ tan ^ 2 (x) + \ cot ^ 2 (x) – 1 \, dx [/ matemáticas] (Como [matemáticas] \ sin ^ 2 (x) + \ cos ^ 2 (x) = 1 [/ matemáticas])

[matemáticas] = \ int \ sec ^ 2 (x) – 1 + \ csc ^ 2 (x) – 1 – 1 \, dx [/ matemáticas]

[math] = \ int \ sec ^ 2 (x) \, dx + \ int \ csc ^ 2 (x) \, dx – \ int 3 \, dx [/ math]

[matemática] = \ tan (x) – \ cot (x) – 3x + C [/ matemática] (donde [matemática] C [/ matemática] es la constante de integración)

Answer 3

[matemáticas] \ sin ^ 6x + \ cos ^ 6x = (\ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x) (\ sin ^ 4x + \ cos ^ 4x – \ sin ^ 2x \ cos ^ 2x) = \ sin ^ 4x + \ cos ^ 4x – \ sin ^ 2x \ cos ^ 2x [/ math]

[matemáticas] \ implica \ frac {\ sin ^ 4x + \ cos ^ 4x – \ sin ^ 2x \ cos ^ 2x} {\ sin ^ 2x \ cos ^ 2x} = \ tan ^ 2x + \ cot ^ 2x – 1 = \ sec ^ 2x + \ csc ^ 2x – 3 [/ matemáticas]

Por lo tanto: [matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ frac {\ sin ^ 6x + \ cos ^ 6x} {\ sin ^ 2x \ cos ^ 2x} dx = \ int \ sec ^ 2x + \ csc ^ 2x – 3 dx = \ tan x – \ cot x – 3x + C [/ math] donde [math] C [/ math] es la constante de integración.

Answer 4

Dado que…..

[matemáticas] f (x) = \ dfrac {sin ^ 6x + cos ^ 6x} {sin ^ 2x \ cdot cos ^ 2x} [/ matemáticas]

Ahora, [matemáticas] I = \ int \ dfrac {sin ^ 6x + cos ^ 6x} {sin ^ 2x \ cdot cos ^ 2x} dx + C [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int \ dfrac {(sin ^ 2x + cos ^ 2x) ^ 3–3sin ^ 2x \ cdot cos ^ 2x (sin ^ 2x + cos ^ 2x)} {sin ^ 2x \ cdot cos ^ 2x} dx + C [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int \ dfrac {1 ^ 3–3sin ^ 2x \ cdot cos ^ 2x \ cdot 1} {sin ^ 2x \ cdot cos ^ 2x} dx + C [/ math]

[matemática] = \ int [4cosec ^ 22x-3] dx + C [/ matemática]

[matemáticas] = 4 \ dfrac {-cot2x} {2} -3x + C [/ matemáticas]

[matemáticas] = – 2cot2x-3x + C [/ matemáticas]

Donde ‘C’ son constantes arbitrarias.

El problema ya está hecho.

Answer 5

Este es el ans .. No importa la escritura a mano ..

.

Answer 6

La expresión es {(sin⁴x / cos²x) + (cos⁴x / sin²x)}

=> sin²x.tan²x + cos²x.cot²x

=> sin²x (sec²x-1) + cos²x (csc²x-1)

=> sin²x.sec²x-sin²x + cos²x.csc²x-cos²x

=> (1-cos²x) .sec²x + (1-sin²x) .csc²x- (sin²x + cos²x)

=> sec²x-1 + csc²x-1-1

=> sec²x + csc²x-3, ​​entonces la integral se convierte en

§ (sec²x + csc²x-3) dx = §sec²xdx + §csc²xdx-§3dx

= tanx-cotx-3x + C ans ..

Answer 7