Deje que [matemáticas] I = \ int \ frac {x ^ 2} {\ sqrt {x ^ 2 + 1}} dx [/ matemáticas]
Suponga que [matemáticas] x = \ tan (y) [/ matemáticas]
[matemáticas] dx = \ sec ^ 2 (y) dy [/ matemáticas]
Sustituyendo [math] x [/ math], [math] dx [/ math] con los valores obtenidos anteriormente, tenemos,
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[matemáticas] I = \ int \ frac {\ tan ^ 2 (y) \ sec ^ 2 (y)} {\ sqrt {\ tan ^ 2 (y) + 1}} dy [/ matemáticas]
[matemática] = \ int \ frac {\ tan ^ 2 (y) \ sec ^ 2 (y)} {\ sec (y)} dy [/ math]
[math] = \ int \ tan ^ 2 (y) \ sec (y) dy [/ math]
Ahora integrando por partes,
Deje [math] u = \ tan (y) [/ math]
[matemáticas] \ implica du = \ sec ^ 2 (y) [/ matemáticas]
y [math] dv = \ tan (y) \ sec (y) dy [/ math]
[matemática] v = \ int dv = \ int \ tan (y) \ sec (y) dy = \ sec (y) [/ math]
Como, [math] \ int u dv = uv – \ int v du [/ math]
[matemática] \ implica I = \ tan (y) \ sec (y) – \ int sec ^ 3 (y) dy [/ math]
[matemáticas] \ implica I = \ tan (y) \ sec (y) – \ int (1 + \ tan ^ 2 (y)) segundos (y) dy [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica I = \ tan (y) \ sec (y) – \ int sec (y) dy – \ int \ tan ^ 2 (y) sec (y) dy [/ math]
[matemática] \ implica I = \ tan (y) \ sec (y) – \ ln (| sec (y) + \ tan (y) |) – I [/ matemática]
[math] \ implica 2I = \ tan (y) \ sec (y) – \ ln (| sec (y) + \ tan (y) |) [/ math]
[matemáticas] \ implica I = \ frac {1} {2} \ tan (y) \ sec (y) – \ frac {1} {2} \ ln (| sec (y) + \ tan (y) |) + C [/ matemáticas]