Piense en un conjunto como un contenedor para sus elementos. Es casi cierto que son sus elementos, no hay nada más que saber sobre un conjunto, excepto que es un conjunto, pero eso no es lo mismo. Una diferencia importante es que un conjunto no necesariamente tiene como miembro todo lo que está incluido en él. Un conjunto puede contener otro conjunto, pero los miembros del último conjunto no se convierten automáticamente en miembros del conjunto principal. Un conjunto es un recipiente impermeable; lo que contiene no se “filtra” en un conjunto cerrado, porque solo la membresía inmediata cuenta como membresía.
Un subconjunto es solo un contenedor diferente con algunos de los mismos elementos, y sin elementos adicionales. Tiene el mismo tipo de relación con sus miembros que el conjunto primario con sus miembros, porque esto es cierto para todos los conjuntos. Cuando sabes que es un conjunto y sabes cuáles son sus miembros, sabes todo lo que puede haber sobre el conjunto. Simplemente “tener los miembros” en realidad no tiene sentido (¿miembros de qué?). Solo tener algunas cosas no hace un conjunto de ellas. La diferencia es la noción muy simple, muy básica, no realmente reducible de pensar que constituyen una cosa. Eso no es suficiente para ser un conjunto, para lo cual existen otras condiciones, pero es la diferencia esencial entre el conjunto y sus miembros, de todos modos.
Una vez que tenga este concepto para dos o más cosas, parece obvio (aunque sea un poco extraño) aplicar la misma noción (de un contenedor que no es el mismo que su contenido) a conjuntos con muy pocos miembros. Específicamente, los conjuntos incluyen conjuntos singleton (un conjunto con un miembro no es lo mismo que el miembro mismo) y el conjunto vacío, que definitivamente es un conjunto, a pesar de que no tiene ningún miembro.
Existen pocas reglas que restrinjan lo que puede o no ser miembro de un conjunto, y en realidad es posible que un miembro de un conjunto TAMBIÉN sea un subconjunto de él. El miembro del conjunto puede ser un conjunto y sus miembros también pueden ser miembros del conjunto principal. Tenga en cuenta que de esta manera, si el miembro es un conjunto no vacío, sus miembros aparecen al menos dos veces “dentro” del conjunto padre, una vez inmediatamente como miembros y una vez como miembros de uno de sus miembros. Es un uso importante de la diferencia entre un conjunto y sus miembros; existe una clara distinción entre ser miembro de un conjunto y ser miembro de un miembro de un conjunto (y así sucesivamente con la frecuencia que desee). Del mismo modo, es una buena ilustración que no tienes un conjunto de cosas solo porque las tienes, ya sabes, en alguna parte. Puede haber un conjunto exactamente de esos miembros, pero no tiene que ser el mismo conjunto en el que los mismos miembros están dispuestos de manera diferente a través de una jerarquía de miembros, incluidos los miembros que son conjuntos.
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Lo siguiente no es lo mismo:
[matemáticas] \ {1, 2, \ {3, 4 \} \} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ {1, 2, 3, \ {4 \} \} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ {1, 2, 3, \ {1, 2 \}, \ {4 \} \} [/ matemáticas]
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Lo que no puede hacer es tener un conjunto que sea miembro de sí mismo, o incluso incluido en sí mismo en un nivel más profundo de anidamiento. Los miembros de un conjunto deben definirse lógicamente antes de ensamblarlos en un conjunto. No puede detenerse a la mitad de la definición de un conjunto, dejando un letrero “para ser anunciado” en lugar de algunos miembros. Al menos, el resultado no es un conjunto, y realmente no está lo suficientemente definido como para ser miembro de un conjunto (porque hay algunas condiciones). Podrías inventar algo nuevo, un “conjunto poco cocinado”, quizás, para llamarlo; pero no puede incluirlo en un conjunto sin congelarlo, y luego no puede cambiarlo en absoluto, ni siquiera definiendo bits indefinidos. Por lo tanto, no se permiten definiciones de conjuntos recursivas y recursivas automáticas.
Puede omitir las restricciones en los conjuntos considerando objetos agregados más generales, como las clases. Sin embargo, no se comportan tan bien como los conjuntos, y su pregunta era sobre los conjuntos.