¿Cuál es la forma de [matemáticas] u (n) [/ matemáticas] en [matemáticas] u (n) -2 \ cos {\ theta} u (n-1) + u (n-2) = 0 [/ matemáticas ], sabiendo que [matemáticas] u (0) = u (1) = 1 [/ matemáticas]?

Answer 1

Reescribe la pregunta como [math] u_n – 2 \ cos \ theta u_ {n-1} + u_ {n-2} = 0, u_0 = u_1 = 1 [/ math]

Deja que la función generadora [matemática] U (z) = \ sum_ {n> = 0} u_n z ^ n [/ matemática]

[matemáticas] \ sum_ {n> = 2} \, (u_n – 2 \ cos \ theta u_ {n-1} + u_ {n-2}) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {U (z) -u_0-u_1z} {z ^ 2} – 2 \ cos \ theta \ dfrac {U (z) -u_0} {z} + U (z) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (1 + 2 \ cos \ theta z + z ^ 2) U (z) = u_0 + u_1z-2 \ cos \ theta z [/ matemáticas]

[matemáticas] U (z) = \ dfrac {1+ (1-2 \ cos \ theta) z} {1-2 \ cos \ theta z + z ^ 2} [/ matemáticas]

Encuentra las raíces de [matemáticas] 1-2 \ cos \ theta z + z ^ 2 [/ matemáticas] para ser [matemáticas] z = e ^ {\ pm j \ theta}, [/ matemáticas]

[matemáticas] U (z) = \ dfrac {1+ (1-2 \ cos \ theta) z} {(1-e ^ {j \ theta} z) (1-e ^ {- j \ theta} z) }[/matemáticas]

Quiere encontrar [math] U (z) = \ dfrac {A} {1-e ^ {j \ theta} z} + \ dfrac {B} {1-e ^ {- j \ theta} z} [/ math ] para [matemáticas] A, B [/ matemáticas]

Claramente [matemáticas] A + B = 1, -Ae ^ {- j \ theta} -Be ^ {j \ theta} = 1-2 \ cos \ theta [/ math]

[matemáticas] – (1-B) e ^ {- j \ theta} -Be ^ {j \ theta} = 1-2 \ cos \ theta [/ math]

[matemáticas] B = \ dfrac {1-2 \ cos \ theta + e ^ {- j \ theta}} {e ^ {- j \ theta} -e ^ {j \ theta}} = \ dfrac {1- ( e ^ {j \ theta} + e ^ {- j \ theta}) + e ^ {- j \ theta}} {- 2 \ sin \ theta} = \ dfrac {e ^ {j \ theta} -1} { 2 \ sin \ theta} [/ matemáticas]

[matemáticas] A = \ dfrac {1-e ^ {- j \ theta}} {2 \ sin \ theta} [/ matemáticas]

Expanda [matemáticas] U (z) [/ matemáticas], [matemáticas] u_n = Ae ^ {jn \ theta} + Be ^ {- jn \ theta} = \ dfrac {1-e ^ {- j \ theta}} { 2 \ sin \ theta} e ^ {jn \ theta} + \ dfrac {e ^ {j \ theta} -1} {2 \ sin \ theta} e ^ {- jn \ theta} = \ dfrac {\ sin n \ theta – \ sin (n-1) \ theta} {\ sin \ theta} [/ math]

[matemáticas] u_n = \ dfrac {\ sin n \ theta – \ sin (n-1) \ theta} {\ sin \ theta} [/ matemáticas]

Puede verificar dos veces conectando [math] n = 0, 1, 2 [/ math]

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~

Puede resolver directamente desde [math] u_n = C \ sin n \ theta + D \ cos n \ theta [/ math]

[matemáticas] n = 0, 1 = D [/ matemáticas]

[matemáticas] n = 1, 1 = C \ sin \ theta + D \ cos \ theta, C = \ dfrac {1- \ cos \ theta} {\ sin \ theta} [/ math]

[matemáticas] u_n = \ dfrac {1- \ cos \ theta} {\ sin \ theta} \ sin n \ theta + \ cos n \ theta [/ math]

Ambas soluciones son equivalentes.

Answer 2

A2A, gracias.

Si [math] \ theta [/ math] se mantiene fijo, por brevedad podemos introducir la variable [math] \ alpha = 2 \ cos (\ theta) [/ math]. (Supongo que [math] u (n-1) [/ math] no es parte del argumento del coseno). Entonces, tenemos:

[matemáticas] u (n) – \ alpha u (n-1) + u (n + 2) = 0 [/ matemáticas].

Esta es una ecuación de diferencia lineal: Wikipedia, el artículo vinculado de Wikipedia muestra cómo resolverla utilizando la ecuación característica.

Sin embargo, si el segundo summand está destinado a ser

[matemáticas] 2 \ cos (\ theta \; u (n-1)) [/ matemáticas],

entonces la recurrencia es no lineal y no hay métodos analíticos directos. Sin embargo, se pueden buscar aproximaciones.

Answer 3

En tal escenario, una secuencia recurrente lineal, busca soluciones geométricas.

[matemáticas] V_n = r ^ n [/ matemáticas]

de esto es obvio que [matemáticas] r ^ 2–2 \ cos (\ theta) r + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Delta = 4 \ cos ^ 2 (\ theta) -4 = -4 \ sin ^ 2 (\ theta) = (2i \ sin (\ theta)) ^ 2 [/ matemáticas]

esto da 2 valores para r (suponiendo [matemática] \ sin (\ theta) \ neq 0 [/ matemática])

[matemáticas] r_1 = e ^ {i \ theta} [/ matemáticas]

[matemáticas] r_2 = e ^ {- i \ theta} [/ matemáticas]

Como la ecuación es lineal, la solución general es una combinación lineal de estos 2:

[matemáticas] U_n = Ae ^ {ni \ theta} + Be ^ {- ni \ theta}, A, B \ in \ mathbb {C} [/ math]

Dado que nuestros valores base eran números reales, también debe ser nuestra solución, lo que significa que también se puede escribir [matemáticas] \ alpha \ cos (n \ theta) + \ beta \ sin (n \ theta), \ alpha, \ beta \ en \ mathbb {R} [/ math]

si [matemática] \ sin (\ theta) = 0 [/ matemática]

si [matemáticas] \ cos (\ theta) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] r = 1 [/ matemáticas]

esta es solo una solución, y el espacio de soluciones es de dimensión 2

necesitamos encontrar uno más, en un caso así agregamos r * n y vemos que funciona fácilmente.

[matemáticas] U_n = An + B [/ matemáticas] (que da los 2 primeros términos deja [matemáticas] U_n = 1 [/ matemáticas] para todos los n)

si [matemáticas] \ cos (\ theta) = – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] r = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] U_n = (- 1) ^ n (An + B) [/ matemáticas]

[matemáticas] U_0 = B = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] U_1 = -AB = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] U_n = (- 1) ^ n (-2n + 1) [/ matemáticas]