Aunque algunos de ustedes vendrán y esperarán una respuesta extravagante a una pregunta extravagante, pero, desafortunadamente, están decepcionados, pero, sin embargo, veamos el problema en cuestión …
[matemáticas] \ coprod _ {\ infty} ^ {n = 1} \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ Gamma (n) + \ Psi ^ {2} (n + 1)} { \ Psi (n + 1) + \ gamma}} [/ matemáticas]
Dado que el autor de este problema probablemente estaba … intrigado por la variedad de símbolos matemáticos que podía usar, voy a recortar el problema en algo solucionable, y eso comienza con los símbolos iniciales y cómo ambos están usando n renderizando el expresión en sí misma ridícula. Entonces, cortaremos el coproducto ya que se trata de conjuntos y ya estoy pasando suficiente tiempo en este problema, ya que es así … sí
[matemáticas] \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ Gamma (n) + \ Psi ^ {2} (n + 1)} {\ Psi (n + 1) + \ gamma}} [/matemáticas]
- ¿Cuál es la forma de [matemáticas] u (n) [/ matemáticas] en [matemáticas] u (n) -2 \ cos {\ theta} u (n-1) + u (n-2) = 0 [/ matemáticas ], sabiendo que [matemáticas] u (0) = u (1) = 1 [/ matemáticas]?
- La suma de dos números consecutivos es 17. Si los dígitos se intercambian, el número se convierte en 9 menos de lo que era antes. ¿Cual es el número?
- Si T es un gráfico acíclico conectado, ¿cómo probaría que dos vértices de T están conectados exactamente por una ruta?
- ¿Es una falta de respeto cuando eres un experto en una cosa y tienes un problema, pero no sabes cómo resolverlo, y luego una persona que no es de la industria resuelve el mismo problema?
- ¿Se utiliza el presupuesto principalmente para mantener la puntuación, dirigir la atención o resolver problemas?
Ahora esto ya parece feo, pero trabajemos con eso y veamos qué podemos obtener
[matemáticas] \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} {(\ frac {\ Gamma (n)} {\ Psi (n + 1) + \ gamma} + \ frac {\ Psi ^ 2 (n + 1 )} {\ Psi (n + 1) + \ gamma})} [/ math]
Sé que realmente no he hecho mucho más que cortar un símbolo matemático genial y dividir una fracción en dos fracciones más pequeñas, pero lo hice solo para poder decir que he terminado
[matemáticas] \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ Gamma (n) + \ Psi ^ {2} (n + 1)} {\ Psi (n + 1) + \ gamma}} = \ infty [/ math]
¿Porque preguntas? Bueno … hay una muy buena condición que los términos en un producto infinito deben cumplir para que la expresión converja
[matemáticas] \ text {Dado que} \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} {a_n} \ text {converge,} \ lim_ {n \ to \ infty} {a_n} = 1 [/ math]
¿Por qué? Bueno, como has leído hasta aquí, ilustraré la prueba benigna de mi declaración anterior
[matemáticas] P = \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} {a_n} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ text {ln} (P) = \ text {ln} (\ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} {a_n}) [/ math]
[matemáticas] \ text {ln} (P) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {\ text {ln} (a_n)} [/ math]
[matemáticas] \ text {P converge si ln (P) converge, lo que converge si} \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {\ text {ln} (a_n)} \ text {converge} [/ math]
[matemáticas] \ text {implicando} \ lim_ {n \ to \ infty} {a_n} = 1 [/ matemáticas]
Entonces, ahí va, el término multiplicador dentro del producto debe tender a uno si el producto va a converger. Entonces, ¿cómo ayuda eso a nuestro problema? Bueno, veamos el producto con los dos términos separados
[matemáticas] \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} {(\ frac {\ Gamma (n)} {\ Psi (n + 1) + \ gamma} + \ frac {\ Psi ^ 2 (n + 1 )} {\ Psi (n + 1) + \ gamma})} [/ math]
Y mira el límite (luego el límite s )
[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} {(\ frac {\ Gamma (n)} {\ Psi (n + 1) + \ gamma} + \ frac {\ Psi ^ 2 (n + 1)} { \ Psi (n + 1) + \ gamma})} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} {\ frac {\ Gamma (n)} {\ Psi (n + 1) + \ gamma}} + \ lim_ {n \ to \ infty} {\ frac {\ Psi ^ 2 (n + 1)} {\ Psi (n + 1) + \ gamma}} [/ math]
Debido a que no tiene ningún efecto en el crecimiento de las expresiones, me libraré de la constante de Euler de los denominadores (nada en contra de Euler, él es un tipo genial)
[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} {\ frac {\ Gamma (n)} {\ Psi (n + 1)}} + \ lim_ {n \ to \ infty} {\ frac {\ Psi ^ 2 (n + 1)} {\ Psi (n + 1)}} [/ matemáticas]
Y ambos términos tienden hacia el infinito positivo, por lo tanto, la expresión general también tiende hacia el infinito positivo
[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} {\ frac {\ Gamma (n)} {\ Psi (n + 1)}} = + \ infty [/ math]
Wolfram dice aquí y Wolfram muestra aquí
[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} {\ frac {\ Psi ^ 2 (n + 1)} {\ Psi (n + 1)}} = \ lim_ {n \ to \ infty} {\ Psi ( n + 1)} = + \ infty [/ math]
Wolfram dice aquí y Wolfram muestra aquí
Entonces, poner los límites juntos …
[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} {\ frac {\ Gamma (n)} {\ Psi (n + 1)}} + \ lim_ {n \ to \ infty} {\ frac {\ Psi ^ 2 (n + 1)} {\ Psi (n + 1)}} = \ infty + \ infty = + \ infty [/ math]
Y esto significa que el término que se multiplica tiende hacia el infinito en lugar de uno, por lo tanto, diverge. Como el término crece bastante, podemos ver el producto como grande y decir que la expresión tiende hacia el infinito positivo.
* pausa por aplausos *
Es probable que algunos de ustedes miren mi respuesta y me pregunten qué pasa si simplemente cambié la variable iterativa en el coproducto a k e hice el mismo problema.
Bueno, hay muchos lugares donde k podría ir, y cada uno tiene el potencial de cambiar el problema por completo.
Bueno, ¿qué pasa si lo dejo como está o lo empujo a algún lugar sin tener demasiado en cuenta el problema original?
Bueno, entonces no sabes qué es el Coproducto porque ni siquiera puedes utilizarlo con valores únicos, es un operador destinado a conjuntos y una “unión disjunta de conjuntos”. Y eso es algo que no planeo pasar tiempo rascándome la cabeza para descifrar.
Pero…
Oh, solo quedate satisfecho con mi respuesta por favor