Cómo demostrar que el producto de n números consecutivos es divisible por n

Mod n es esencialmente el grupo de posibles restos cuando los enteros se dividen por n (simplemente hablando), entonces [matemáticas] 18 \ bmod {5} \ equiv 3, 21 \ bmod {7} \ equiv 0 [/ matemáticas]. El grupo consta de {0, 1, 2, …, n-1} (ya que no tiene residuos que son mayores que n, y generalmente no considera residuos negativos). Una propiedad importante de las modificaciones: si [math] a \ bmod {n} \ equiv r [/ math] y [math] b \ bmod {n} \ equiv s [/ math], entonces [math] ab \ bmod { n} \ equiv rs \ bmod {n} [/ math].

Ahora, hay n elementos en el grupo yn números consecutivos, y se deduce que cada número tiene un resto diferente cuando se divide entre n, por lo que todos los restos abarcan {0, 1, 2, …, n-1}.

Entonces, tomando el producto de estos en el mod n, obtenemos [matemática] 0 \ cdot 1 \ cdot 2 \ cdot \ ldots \ cdot (n-1) = 0 [/ math], por lo que el producto será divisible por n ( no deja resto).

Alternativamente, para aquellos que conocen la combinatoria, podemos expresar el producto de n números consecutivos que comienzan con k + 1 como [math] \ frac {(k + n)!} {K!}. [/ Math]

Ahora, dado que [math] \ dbinom {k + n} {k} = \ frac {(k + n)!} {K! N!} [/ Math] es un número entero, vemos que [math] \ frac { (k + n)!} {k!} [/ math] es divisible por n !, y consecuentemente es divisible por n.

porque cada n número consecutivo contiene un número, que es múltiplo de n.

y si el múltiplo de n es divisible por n

entonces, producto de n no. también será divisible por n.

Por ejemplo,

17 * 18 * 19 * 20 * 21 es divisible por 5, porque hay un no. 20 que es divisible por 5.

Y también podemos encontrar el no., Que es divisible por el número n (aquí es 5).

tome el primer número, i, e. 17

17% 5 = 2 (aquí% es módulo)

y 5– 2 = 3

=> 17+ 3 = 20

Por lo tanto, 20 es divisible por 5, entonces (17 * 18 * 19 * 20 * 21) también es divisible por 5 .

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¡norte! tiene n como factor, por lo tanto es divisible por n

O del teorema de Wilson →

(n-2)! mod1mod2

(n-1) (n-2)! ≡ (n-1) modn≡-1modn

(n-1)! ≡-1 modn

n (n-1)! ≡-n mod n

n! ≡-n modn = 0 modn

Sea a un número que precede a los n números consecutivos (a + 1 a a + n) que se multiplican.

un mod n puede ser 0 a n-1.

Si es n-1, a + 1 mod n es 0.

De lo contrario, el resto aumenta en 1 con cada número consecutivo hasta que se convierte en n-1 y luego en 0.

Dado que un mod n tiene n posibilidades de aumentar en 1 cada vez, uno de los números consecutivos en cuestión será un múltiplo de n.

Bueno, aquí vamos … el producto de n números consecutivos, el mayor ser x, es x elegir n veces n factorial. Entonces no solo el producto es divisible por n, ¡también es divisible por n!

Por contradicción . Suponga que ninguno de los n enteros consecutivos es divisible por [math] n [/ math]. Hay [matemática] n-1 [/ matemática] residuos diferentes tras la división por [matemática] n [/ matemática] mientras que se necesitan [matemática] n [/ matemática] residuos. Por lo tanto, según el principio del casillero, dos de las divisiones tienen el mismo resto. Pero eso implicaría que la diferencia en esos dividendos es divisible por [matemáticas] n [/ matemáticas] y, por lo tanto, es [matemáticas] n [/ matemáticas]. Pero la mayor diferencia es [matemáticas] n-1 [/ matemáticas]. Contradicción

Digamos n = 12. En ese caso, cualquier número será reducible a un reloj (12 = 0) si tomamos el mod 12 de ellos. Es bastante fácil ver que donde sea que comience en el reloj y tome 12 números consecutivos a partir de ahí, habrá exactamente 1 número que cae en la parte superior (donde x mod 12 = 0). Debido a que este número es divisible por 12, también lo hará el producto.

Si n no es 12, simplemente toma un reloj diferente.

Basta con mirar las clases de congruencia módulo n. Es una consecuencia simple del hecho de que un módulo de clase de congruencia n tiene exactamente n elementos.

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