Dados todos los pares de enteros entre 1 y un límite superior grande, ¿cuál sería el promedio de sus relaciones?

El promedio de todas las relaciones posibles de enteros entre [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] n [/ matemáticas] es

[matemáticas] \ frac {1} {n ^ 2} \ left (\ frac {1} {1} + \ frac {2} {1} +… + \ frac {n} {1} \, + \, \ frac {1} {2} + \ frac {2} {2} +… + \ frac {n} {2} \, +… + \, \ frac {1} {n} + \ frac {2} {n } +… + \ Frac {n} {n} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ frac {1} {n ^ 2} \ left (\ frac {1 + 2 +… + n} {1} + \ frac {1 + 2 +… + n} {2} +… + \ frac {1 + 2 +… + n} {n} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ frac {1} {n ^ 2} (1 + 2 +… + n) \ left (\ frac {1} {1} + \ frac {1} {2} +… + \ frac {1 } {n} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ frac {1} {n ^ 2} \ left (\ frac {n (n + 1)} {2} \ right) \ left (\ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac { 1} {i} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {n + 1} {2n} \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {1} {i} [/ matemáticas]

Si contamos pares incluyendo el orden y permitiendo la repetición (esto significa que [matemáticas] (1,2) [/ matemáticas], [matemáticas] (2,2) [/ matemáticas], [matemáticas] (1,1) [/ matemáticas) ] y [math] (2,2) [/ math] existirían), luego resuelva esto para [math] n [/ math].

Dados todos los pares de enteros entre 1 yn, inclusive, cuál sería el promedio de sus razones.

Entonces [math] s_n [/ math], la solución sería:
[matemáticas] \ begin {align} s_n & = \ frac {\ sum_ {1 \ le i, j \ le n} i \ div j} {n ^ 2} \\ & = \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ n \ sum_ {j = 1} ^ n \ frac ij} {n ^ 2} \\ & = \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ n \ bigl (i \ sum_ {j = 1} ^ n \ frac1j \ bigr)} {n ^ 2} \\ & = \ frac {\ bigl (\ sum_ {i = 1} ^ ni \ bigr) \ bigl (\ sum_ {j = 1} ^ n \ frac1j \ bigr)} {n ^ 2} \\ & = \ frac1 {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ ni \ times \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac1j \ end {align} [/ math]

La expresión [matemáticas] \ frac1 {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ ni = \ frac {n + 1} {2n} [/ matemáticas]. El otro: [matemáticas] \ sum_ {j = 1} ^ n \ frac1j [/ matemáticas] no tiene una forma cerrada, sin embargo, para grandes [matemáticas] n [/ matemáticas], podemos aproximarnos: [matemáticas] \ sum_ {j = 1} ^ n \ frac1j \ simeq \ gamma + \ ln n [/ math], donde [math] \ gamma [/ math] es la constante de Euler-Mascheroni. [matemáticas] \ gamma \ simeq0.57721 [/ matemáticas]

Para grandes [matemáticas] n [/ matemáticas], entonces [matemáticas] s_n \ simeq \ frac {n + 1} {2n} (\ gamma + \ ln n) [/ matemáticas]. Esto se puede aproximar a [math] \ frac12 (\ gamma + \ ln n) [/ math].

La expresión no converge, por lo que si [math] n \ to \ infty, [/ math] entonces [math] s_n \ to \ infty [/ math].

Bueno, corrígeme si me equivoco.

Comience por suponer que estamos hablando de todos los pares, incluidos los autopareamientos. Deje N ser el mayor entero. Hay [matemáticas] N ^ 2 [/ matemáticas] pares de enteros, y la fórmula para la media es:

[matemáticas] f (N) = E [1 / N ^ 2 (\ sum_ {i = 1} ^ {N} \ sum_ {j = 1} ^ {N} i / j)] [/ matemáticas]

No hay aleatoriedad involucrada. Podemos simplificar un poco.

[matemáticas] (1 / N ^ 2) (\ sum_ {i = 1} ^ {N} \ sum_ {j = 1} ^ {N} i / j) = (1 / N ^ 2) (\ sum_ {j = 1} ^ {N} \ sum_ {i = 1} ^ {N} i / j) [/ math]

Aplicando la fórmula para números triangulares (suma de 1 a N):

Número triangular – Wikipedia

[matemáticas] (1 / N ^ 2) (\ sum_ {j = 1} ^ {N} (N (N + 1) / 2) / j) [/ matemáticas]

[matemáticas] (1 / N ^ 2) (N (N + 1) / 2) (\ sum_ {j = 1} ^ {N} 1 / j) [/ matemáticas]

Usando la serie armónica y la gamma constante de Euler:

Constante Euler-Mascheroni – Wikipedia

Cuando N va al infinito, f (N) se acerca

[matemáticas] (1 / N ^ 2) (N (N + 1) / 2) (\ gamma + ln N) = (1 + 1 / N) (\ gamma + ln N) / 2 [/ matemáticas]

Una aproximación para la constante de Euler es 0.5772.

Hiciste una pregunta similar sobre los reales. Se puede realizar un análisis similar, excepto utilizando sumas finitas. Desafortunadamente, no existe una fórmula simple para las sumas finitas, pero puede aproximarse por la integral para números grandes.

Sin embargo, si incluye cero en el rango, obtendrá un valor infinito.

No hace falta ser un científico de cohetes para resolverlo: observe [0,1] para que el promedio sea 0/1 + 0/2 + 1/0 + 2/0

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