Cómo encontrar n números para que el producto de los números sea igual a su suma, siempre que cada uno de los números sea un entero positivo

Answer 1

Aquí hay un método.

Suponga que los números son [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] con [matemática] a≤b≤c [/ matemática]. Entonces de [matemáticas] a + b + c = abc [/ matemáticas] se deduce que [matemáticas] 3c≥abc⇒3≥ab [/ matemáticas]. Entonces los valores posibles son [matemática] (a, b) = (1,1), (1,2), (1,3) [/ matemática]. El primero no permite ningún valor para [math] c [/ math], el segundo da [math] c = 3 [/ math] y el tercero [math] c = 2. [/ Math]

Es interesante generalizar esto. Por diversión, aunque no esté de acuerdo, considere el caso de cuatro números con [matemáticas] a≤b≤c≤d [/ matemáticas]. Es útil más adelante, usar [math] d = \ frac {{a + b + c}} {{abc – 1}} [/ math].

Similar a antes, [matemáticas] 4d≥abcd⇒4≥abc [/ matemáticas]. Aunque [matemáticas] (a, b, c) = (1,1,1), (1,1,2), (1,1,3), (1,1,4), (1,2,2 ) [/ math] son ​​amigables, solo el segundo es fructífero

[matemáticas] (a, b, c, d) = (1,1,2,4). [/ matemáticas]

Que emoción. Pasemos a cinco números. Como antes, [matemática] a≤b≤c≤d≤e [/ matemática] y [matemática] e = \ frac {{a + b + c + d}} {{abcd – 1}} [/ matemática].

Entonces [matemáticas] 5e≥abcde⇒5≥abcd [/ matemáticas] dando lugar a [matemáticas] (a, b, c, d) = (1,1,1,1), (1,1,1,2) , (1,1,1,3), (1,1,1,4), (1,1,1,5) (1,1,2,2) [/ matemáticas]. La única solución de este conjunto es [matemáticas] (a, b, c, d, e) = (1,1,1,2,5), (1,1,1,3,3) [/ matemáticas].

Answer 2

A2A, gracias.

No se me ocurre otra cosa que experimentar. Para n = 2, tome los números para ser

[matemáticas] x_ {1} = 2, x_ {2} = 2. [/ matemáticas]

En cuanto al caso general que desea examinar

[matemática] S = \ sum_ {k = 1} ^ {N} x_ {k} [/ matemática] vs. [matemática] P = \ prod_ {k = 1} ^ {N} x_ {k} [/ matemática] .

Comenzaría investigando si

[matemáticas] {S \ sobre P} <1 [/ matemáticas]

para [matemáticas] N \ geq 3 [/ matemáticas].

Answer 3

i) Deje que el número sea a, luego forme una ecuación que a × a = a + a

a ^ 2 = 2a

a ^ 2-2a = 0 (ecuación cuadrática)

Después de la solución

a = 2 o a = 0

ii) Si ambos números son diferentes, entonces a y b son los números,

ab = a + b

a-ab + b = 0

La ecuación anterior forma una línea en el gráfico desde la cual podemos tener nuestros conjuntos de soluciones requeridas

Answer 4

Aquí está mi proceso de pensamiento.

La suma de n enteros positivos es al menos n.

Para hacer que el producto sea igual a n, podríamos usar los números n, 1, …, 1 (es decir, un solo número n y n-1)

Eso hará que el suma más cerca de 2n, de hecho, n + n-1.

Ahora estamos cerca: duplica uno de los números y aumenta la suma. ¿Podemos hacer ambas cosas al mismo tiempo? Sí, porque 1 × 2 = 2 = 1 + 1

Los números se convierten

n, 2,1, …, 1

(es decir, n, 2 y n-2. Uno comprueba fácilmente que, de hecho, tanto la suma como el producto son iguales a 2n)

Por supuesto, eso me hace preguntarme si esa es la única forma de generar tal secuencia.