Cómo resolver [math] \ displaystyle \ int \ dfrac1 {\ sin ^ 4x + \ cos ^ 4x} [/ math]

Answer 1

Deje [math] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {1} {\ sin ^ 4 (x) + \ cos ^ 4 (x)} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {1} {\ sin ^ 4 (x) + \ cos ^ 4 (x) + 2 \ sin ^ 2 (x) \ cos ^ 2 (x) – 2 \ sin ^ 2 (x) \ cos ^ 2 (x)} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {1} {(\ sin ^ 2 (x) + \ cos ^ 2 (x)) ^ 2 – \ frac {4 \ sin ^ 2 (x) \ cos ^ 2 ( x)} {2}} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {2} {2 – \ sin ^ 2 (2x)} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {2} {1 + \ cos ^ 2 (2x)} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {2 \ sec ^ 2 (2x)} {\ sec ^ 2 (2x) (1 + \ cos ^ 2 (2x))} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {2 \ sec ^ 2 (2x)} {\ sec ^ 2 (2x) + 1} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {2 \ sec ^ 2 (2x)} {\ tan ^ 2 (2x) + 2} \, dx [/ math]

Deje [math] \ tan (2x) = \ sqrt {2} \ tan (y) [/ math]

[matemáticas] \ implica 2 \ seg ^ 2 (2x) \, dx = \ sqrt {2} \ sec ^ 2 (y) \, dy [/ matemáticas]

Al sustituir los valores anteriores en [matemáticas] I [/ matemáticas], obtenemos,

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {\ sqrt {2} \ sec ^ 2 (y)} {2 \ tan ^ 2 (y) + 2} \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {\ sqrt {2} \ sec ^ 2 (y)} {2 \ sec ^ 2 (y)} \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle I = \ dfrac {y} {\ sqrt {2}} [/ matemáticas]

Sustitución de [matemáticas] y [/ matemáticas] en [matemáticas] I [/ matemáticas], obtenemos,

[matemáticas] \ displaystyle I = \ dfrac {\ arctan \ left (\ frac {\ tan (2x)} {\ sqrt {2}} \ right)} {\ sqrt {2}} + C [/ math]

Donde [math] C [/ math] es la constante de integración indefinida.

Answer 2

Deje [math] I = \ displaystyle \ int \ frac {1} {\ sin ^ 4 {x} + \ cos ^ 4 {x}} \, \ mathrm dx [/ math].

Recuerde que [math] \ tan {\ theta} \ equiv \ dfrac {\ sin {\ theta}} {\ cos {\ theta}} [/ math] y [math] \ sec ^ 2 {\ theta} \ equiv \ tan ^ 2 {\ theta} + 1 [/ math].

[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto I & = \ int \ frac {1} {\ left (\ tan ^ 4 {x} + 1 \ right) \ cos ^ 4 {x}} \, \ mathrm dx \ \ & = \ int \ frac {\ tan ^ 2 {x} + 1} {\ tan ^ 4 {x} + 1} \ sec ^ 2 {x} \, \ mathrm dx \ end {align} [/ math]

Deje [math] u = \ tan {x} \ \ por lo tanto \ mathrm du = \ sec ^ 2 {x} \, \ mathrm dx [/ math].

[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto I & = \ int \ frac {u ^ 2 + 1} {u ^ 4 + 1} \, \ mathrm du \\ & = \ int \ frac {u ^ 2 + 1 } {\ left (u ^ 2 + \ sqrt {2} u + 1 \ right) \ left (u ^ 2 – \ sqrt {2} u + 1 \ right)} \, \ mathrm du \\ & = \ int \ left (\ frac {\ frac {1} {2}} {u ^ 2 + \ sqrt {2} u + 1} + \ frac {\ frac {1} {2}} {u ^ 2 – \ sqrt { 2} u + 1} \ right) \, \ mathrm du \\ & = \ int \ frac {1} {2u ^ 2 + 2 \ sqrt {2} u + 2} \, \ mathrm du + \ int \ frac {1} {2u ^ 2 – 2 \ sqrt {2} u + 2} \, \ mathrm du \\ & = \ int \ frac {1} {\ left (\ sqrt {2} u + 1 \ right) ^ 2 + 1} \, \ mathrm du + \ int \ frac {1} {\ left (\ sqrt {2} u – 1 \ right) ^ 2 + 1} \, \ mathrm du \ end {align} [/ math ]

Deje que [matemáticas] v = \ sqrt {2} u + 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] w = \ sqrt {2} u – 1 \ \ por lo tanto \ mathrm dv = \ mathrm dw = \ sqrt {2} \, \ mathrm du [/ math].

[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto I & = {\ textstyle \ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ int \ frac {1} {v ^ 2 + 1} \, \ mathrm dv + { \ textstyle \ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ int \ frac {1} {w ^ 2 + 1} \, \ mathrm dw \\ & = {\ textstyle \ frac {1} {\ sqrt { 2}}} \ big (\ arctan {v} + \ arctan {w} \ big) \\ & = {\ textstyle \ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ Big (\ arctan \ left (\ sqrt {2} u + 1 \ right) + \ arctan \ left (\ sqrt {2} u – 1 \ right) \ Big) \\ & = \ boxed {{\ textstyle \ frac {1} {\ sqrt {2 }}} \ Big (\ arctan \ left (\ sqrt {2} \ tan \ left (x \ right) + 1 \ right) + \ arctan \ left (\ sqrt {2} \ tan \ left (x \ right) – 1 \ right) \ Big) + C} \ end {align} [/ math]

---

Letra pequeña: • cuando uso [math] \ log [/ math] esto denota un logaritmo natural (base [math] e [/ math] ); si se pretende cualquier otra base, se mostrará como un subíndice • Generalmente omito las constantes de integración de integrales indefinidas hasta que muestre un resultado final •

Answer 3

$ 1 / (cos ^ 4x + sin ^ 4x)

Dividir numerador y denominador por cos ^ 4x

= sec ^ 4x / (1 + tan ^ 4x)

Tomando la sustitución t = tanx, sec ^ 4xdx = dt y 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x

= (1 + t ^ 2) .dt / (1 + t ^ 4)

Ahora dividiendo numerador y denominador por t ^ 2

= $ (1 / t ^ 2 + 1) .dt / (1 / t ^ 2 + t ^ 2)

Ahora (1 / t ^ 2 + t ^ 2) = (t-1 / t) ^ 2 + 2, tomando sustitución

t-1 / t = m, 1 + 1 / t ^ 2 = dm

= $ dm / (m ^ 2 + 2)

= 1 / (2 ^ 1/2) × (arctan (m / (2 ^ 1/2)) + C

reemplazando m por t-1 / ty t por Tanx obtenemos la siguiente expresión

1 / (2 ^ 1/2) × (arctan ((tanx-cotx) / 2 ^ 1/2) + C

Answer 4

[matemático] \ div [/ matemático] numerador y denominador por [matemático] \ cos ^ 4x [/ matemático]

[matemáticas] \ int \ displaystyle \ frac {\ sec ^ 4x} {\ tan ^ 4x + 1} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ displaystyle \ frac {\ sec ^ 2x (\ tan ^ 2x + 1)} {\ tan ^ 4x + 1} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ tan x = u [/ matemáticas]

[matemática] \ sec ^ 2x \, dx = du [/ matemática]

[matemáticas] \ int \ displaystyle \ frac {u ^ 2 + 1} {u ^ 4 + 1} \, du [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ displaystyle \ frac {u ^ 2 + 1} {u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1-2u ^ 2} \, du [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ displaystyle \ frac {u ^ 2 + 1} {(u ^ 2 + 1) ^ 2-2u ^ 2} \, du [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ displaystyle \ frac {u ^ 2 + 1} {(u ^ 2 + 1- \ sqrt {2} u) (u ^ 2 + 1 + \ sqrt {2} u)} \, du [ /matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {2} \ int \ displaystyle \ frac {2 (u ^ 2 + 1)} {(u ^ 2 + 1- \ sqrt {2} u) (u ^ 2 + 1 + \ sqrt {2} u)} \, du [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {2} \ int \ displaystyle \ frac {u ^ 2 + 1- \ sqrt {2} u + u ^ 2 + 1 + \ sqrt {2} u} {(u ^ 2 + 1- \ sqrt {2} u) (u ^ 2 + 1 + \ sqrt {2} u)} \, du [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {2} \ int \ displaystyle \ frac {1} {u ^ 2 + 1 + \ sqrt {2} u} + \ displaystyle \ frac {1} {u ^ 2 + 1 – \ sqrt {2} u} \, du [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {2} \ int \ displaystyle \ frac {1} {u ^ 2 + \ sqrt {2} u + \ displaystyle \ frac {1} {2} – \ displaystyle \ frac {1 } {2} +1} + \ displaystyle \ frac {1} {u ^ 2- \ sqrt {2} u + \ displaystyle \ frac {1} {2} – \ displaystyle \ frac {1} {2} +1} \, du [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {2} \ int \ displaystyle \ frac {1} {(u + \ displaystyle \ frac {\ sqrt {2}} {2}) ^ 2+ \ displaystyle \ frac {1} {2}} + \ displaystyle \ frac {1} {(u- \ displaystyle \ frac {\ sqrt {2}} {2}) ^ 2+ \ displaystyle \ frac {1} {2}} \, du [/ matemáticas]

[matemáticas] u + \ displaystyle \ frac {\ sqrt {2}} {2} = v [/ matemáticas]

[matemáticas] u- \ displaystyle \ frac {\ sqrt {2}} {2} = z [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 \, du = dv = dz [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {2} \ int \ displaystyle \ frac {1} {v ^ 2 + \ displaystyle \ frac {1} {2}} \, dv + \ int \ displaystyle \ frac {1} {z ^ 2 + \ displaystyle \ frac {1} {2}} \, dz [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {2} (\ sqrt {2} \ arctan \ sqrt {2} v + \ sqrt {2} \ arctan \ sqrt {2} z) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {2} (\ sqrt {2} \ arctan \ sqrt {2} (u + \ displaystyle \ frac {\ sqrt {2}} {2}) + \ sqrt {2} \ arctan \ sqrt {2} (u- \ displaystyle \ frac {\ sqrt {2}} {2})) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {2} (\ sqrt {2} \ arctan \ sqrt {2} (\ tan x + \ displaystyle \ frac {\ sqrt {2}} {2}) + \ sqrt {2 } \ arctan \ sqrt {2} (\ tan x- \ displaystyle \ frac {\ sqrt {2}} {2})) + C [/ math]

Answer 5

Answer 6

Cualquier función racional en sen x y cos x puede reescribirse como una función racional en e ^ {ix}. Haz la sustitución e ^ {ix} = z, es decir, ^ {ix} = dz y estás viendo una integral de una función racional en z, algo que tiene un numerador y un denominador, ambos polinomios en z. Factoriza el polinomio, que siempre funciona en el resumen donde solo se nombran las raíces del denominador por alguna convención. Divídalo en fracciones parciales; De nuevo, eso funciona, aunque harás mucha aritmética exacta con números algebraicos, lo que presenta sus propios desafíos. Todo se puede hacer en forma cerrada, simplemente siguiendo las reglas y golpeándolo.

Con suerte, el problema específico que planteaste no conduce a matorrales algebraicos irritantes.

Answer 7

[matemáticas] \ begin {align} I & = \ int \ dfrac1 {\ sin ^ 4x + \ cos ^ 4x} \ mathrm dx \\ & = \ int \ dfrac {\ sec ^ 2x \ cdot (1+ \ tan ^ 2x) } {1+ \ tan ^ 4x} \ mathrm dx \\ & = \ int \ dfrac {1 + u ^ 2} {1 + u ^ 4} \ mathrm du \ qquad [\ text {where} u = \ tan x ] \\ & = \ int \ dfrac {1+ \ dfrac1 {u ^ 2}} {u ^ 2 + \ dfrac1 {u ^ 2}} \ mathrm du \\ & = \ int \ dfrac {\ mathrm d \ left (u- \ dfrac1u \ right)} {\ left (u- \ dfrac1u \ right) ^ 2 + 2} \ mathrm du \\ & = \ dfrac1 {\ sqrt2} \ arctan \ left (\ dfrac {u- \ dfrac1u } {\ sqrt2} \ right) + C \\ & = \ dfrac1 {\ sqrt2} \ arctan \ left (\ dfrac {\ tan x- \ cot x} {\ sqrt2} \ right) + C \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Answer 8

Answer 9

Por favor, disculpe mi letra.

Espero eso ayude…

Answer 10

Answer 11

¡¡Espero que esto ayude!!

Answer 12

I = ∫ (1 / sen⁴x + cos⁴x) dx

Dividir numerador y denominador por cos⁴x

I = ∫ (sec⁴x / 1 + tan⁴x) dx

I = ∫ [(1 + tan²x) sec²x / 1 + tan⁴x] dx

Ahora pon tanx = t

sec²xdx = dt

I = ∫ (1 + t² / 1 + t⁴) dt

I = ∫ [(1 + 1 / t²) / (t² + 1 / t²)] dt

I = ∫ [(1 + 1 / t²) / (t-1 / t) ² + 2] dt

Ahora ponga (t-1 / t) = z

(1 + 1 / t²) dt = dz

I = ∫dz / z² + (√2) ² = (1 / √2) tan-¹z / √2 + c

= (1 / √2) tan-¹ (t-1 / t) / √2 + c

= (1 / √2) tan-¹ (tanx-cotx) / √2 + c

Answer 13

Para este tipo de problema, conviértalo a forma estándar y luego diríjase