¿Cómo pueden algunos infinitos ser más grandes que otros?

Answer 1

¿Cómo pueden algunos infinitos ser más grandes que otros?

Porque el conjunto de potencia de un conjunto (el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto, incluido el conjunto vacío y el conjunto mismo) es estrictamente más grande que el conjunto, incluso para un conjunto transfinito. El conjunto de potencia no tiene una correspondencia uno a uno con el conjunto.

El Teorema de Cantor puede demostrar que es una generalización de su famoso argumento diagonal. Sea [math] S [/ math] el conjunto original, [math] \ mathcal P (S) [/ math] el conjunto de potencia, y supongamos que hay una biyección (correspondencia uno a uno) [math] \ phi \ colon S \ leftrightarrow \ mathcal P (S) [/ math]. Considere el subconjunto [matemáticas] R [/ matemáticas] definido como:

[matemáticas] \ quad \ {x \ en S \ colon x \ notin \ phi (x) \} [/ matemáticas]

Ese es el conjunto cuyos miembros son aquellos elementos que no son miembros del subconjunto correspondiente a ese elemento.

Ahora encuentre el elemento del conjunto que corresponde a este subconjunto (usando el inverso de la biyección).

Es decir, deje que [math] y = \ phi ^ {- 1} (R) [/ math] y pregunte si [math] y \ in R [/ math]? Por definición de [matemáticas] R [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ quad y \ en R \ Rightarrow y \ notin \ phi (y) = R [/ math] pero también

[matemáticas] \ quad y \ notin \ phi (y) \ Rightarrow y \ in R = \ phi (y) [/ math]

Esta contradicción implica que no existe tal biyección [matemática] \ phi [/ matemática] y la cardinalidad de [matemática] \ matemática P (S) [/ matemática] es estrictamente mayor que la cardinalidad de [matemática] S [/ matemática].

Para un conjunto finito como [math] \ {a, b, c \} [/ math] con tres elementos (o cardinalidad [math] 3 [/ math]) es bastante sorprendente que el número de subconjuntos, [math] 2 ^ 3 = 8 [/ math], la cardinalidad del conjunto de potencia, es mayor que [math] 3 [/ math]. El teorema de Cantor muestra que esto también se aplica a la cardinalidad transfinita.

El cardinal transfinito más pequeño es [math] \ aleph_0 [/ math], la cardinalidad del conjunto de números naturales, [math] \ {0,1,2,3, \ dotsc \} [/ math]. El conjunto de potencia, el conjunto de todos los subconjuntos de números naturales tiene cardinalidad [math] \ beth_1 = 2 ^ {\ aleph_0}> \ aleph_0 [/ math].

El conjunto de potencia de ese conjunto tiene cardinalidad [math] \ beth_2 = 2 ^ {\ beth_1}> \ beth_1> \ aleph_0 [/ math]. De hecho, dado cualquier número ordinal, [math] \ alpha [/ math], hay un número cardinal transfinito correspondiente, [math] \ beth _ {\ alpha} [/ math], estrictamente mayor que [math] \ beth _ {\ beta } [/ math] para todos los ordinales [math] \ beta <\ alpha [/ math]. Para realmente impresionarlo, debe tener en cuenta que esta relación continúa con los ordinales transfinitos, por lo que hay muchos números cardinales transfinitos distintos.

Y eso es solo el comienzo [matemáticas] \ ddot \ smile [/ matemáticas]

Answer 2

Si pudiéramos COMENZAR a contar un conjunto como los NÚMEROS INCLUSO, lo que realmente hacemos es emparejarlos con los números de Conteo 1, 2, 3, 4 … que por supuesto nunca termina! Esto es básicamente lo que la mayoría de la gente piensa como “infinito” (es decir, interminable).

¡Ahora, en realidad, nunca podemos terminar de contar los números pares para que también podamos referirnos a ellos como “incontables”!

Podemos emparejarlos con los números de conteo natural 1, 2, 3, 4 … pero nunca podemos terminar de contar.

En este sentido, “infinito” e “incontable” significan lo mismo.

Escribí un artículo sobre esto hace unas semanas.

Por favor, eche un vistazo a la respuesta que escribí en Quora:

¿Hay un infinito más grande que el infinito de los números reales?

Básicamente, mostré lo que generalmente queremos decir con un “conjunto infinito” es cuando podemos contar sus miembros combinándolos con los números naturales 1, 2, 3, 4 …

Mostré que podemos “contar” los pares, las probabilidades, los enteros y las fracciones. Esto muestra que todos son “igualmente del mismo tamaño infinito”, pero luego consideré el conjunto de números reales, incluidos los irracionales entre 0 y 1, y demostré que incluso si pensáramos que teníamos una lista de supuestamente TODOS los reales entre 0 y 1, podríamos luego construya infinidad de muchos otros números que aún no se cuentan en la lista.

¡Esto significa que este es un infinito más grande! Puede referirse a este “tamaño” como incontable.

Sé que esto “suena” muy extraño, pero es muy interesante. Si está realmente interesado, vea mi respuesta usando el enlace de arriba. Lo hice muy sencillo y fácil de seguir sin palabras largas y complicadas.

Answer 3

Bien, echemos un vistazo a dos infinitos.

[matemáticas] \ displaystyle \ sum 1 + 2 + 3 +… + n [/ matemáticas]

En esta suma infinita, estamos agregando todos los números posibles comenzando en 1 y simplemente incrementando en 1 cada vez hasta el infinito. Entonces, si tuviera que crear un número aleatorio en algún lugar, como 5,204,295, por ejemplo, ese número ya está representado en algún lugar de mi conjunto, y no importa qué, realmente no puedo agregar ningún número nuevo al azar sin encontrarlo en algún lugar en el camino .

Pero ahora veamos algo diferente. Quiero saber cuál es la suma de todos los números entre 0 y 1. Para hacer esto, comenzaré a contar algo así.

  0 0
 0.1
 0,01
 0.001
 0,0001
 0.00001
 0.000001
 0.0000001
 0.00000001
 0.000000001
 0.0000000001
 0.00000000001
 0,000 ... 0001

Empiezas a ver el problema. Hay infinitos dígitos después del punto decimal, y esto hace que sea imposible contar cada número decimal. Tienes un infinito tratando de dar cuenta de una pequeña porción de los números disponibles, y aún no has superado ese punto.