¿Cuál es la intuición detrás de elevar un número al poder de i?

Answer 1

A2A: No me gustan las preguntas sobre la “intuición” de las cosas matemáticas. Lo que cuenta como “intuición” depende en gran medida de lo que ya está familiarizado, lo cual es diferente para diferentes personas. Además, muchas cosas a las que se les pide la “intuición” detrás no necesariamente tienen sentido intuitivo sin mucho trabajo.

Comencemos hablando de lo que sabemos sobre exponentes en general. La exponenciación tiene las siguientes propiedades:

• [matemáticas] a ^ ba ^ c = a ^ {b + c} [/ matemáticas]
• [matemáticas] (ab) ^ c = a ^ cb ^ c [/ matemáticas]
• [matemáticas] a ^ 0 = 1 [/ matemáticas]
• [matemáticas] (a ^ b) ^ c = a ^ {(bc)} [/ matemáticas]

Además, tenemos las siguientes fórmulas relacionadas con los poderes de [math] e [/ math]:

• [matemáticas] \ frac {d} {dx} e ^ x = e ^ x [/ matemáticas]
• [matemáticas] e ^ x = \ sum_ {n = 0} ^ \ – \ frac {x ^ n} {n!} [/ matemáticas]

La fórmula de la serie de potencia es derivable de la fórmula derivada, y con algo de trabajo puede mostrar que las primeras tres propiedades generales también son válidas para [math] e ^ x [/ math] (es decir, [math] e ^ xe ^ y = e ^ {x + y}, e ^ 0 = 1, (e ^ x) ^ y = e ^ {xy} [/ math]).

¿Qué hay de trabajar con números complejos? La fórmula para la magnitud de un número complejo [matemática] z [/ matemática] es [matemática] \ sqrt {z \ bar {z}} [/ matemática], por lo que podemos calcular la magnitud de [matemática] e ^ {yi } [/ math] calculando [math] | e ^ {yi} | ^ 2 = e ^ {yi} \ bar {e ^ {yi}} = e ^ {yi} e ^ {- yi} = e ^ { yi-yi} = e ^ 0 = 1 [/ matemáticas]. Entonces [math] e [/ math] a una potencia imaginaria está en algún lugar del círculo unitario. Euler señaló que [matemáticas] e ^ {yi} = \ cos y + i \ sin y [/ matemáticas], en su famosa fórmula de Euler.

Podemos extender esto al caso de [math] r ^ {xi}, r \ in \ mathbb {R} [/ math] haciendo lo mismo: [math] | r ^ {ix} | ^ 2 = r ^ {ix} r ^ {- ix} = r ^ {ix-ix} = r ^ 0 = 1 [/ math], por lo que también está en el círculo unitario. Además, dado que si [math] r> 0, r = e ^ {\ ln r} [/ math], entonces [math] r ^ {ix} = (e ^ {\ ln r}) ^ {ix} = e ^ {ix \ ln r} = \ cos (x \ ln r) + i \ sin (x \ ln r) [/ math].

La fórmula [math] ze ^ {i \ theta} [/ math] gira el número complejo [math] z [/ math] en sentido horario por el ángulo [math] \ theta [/ math]. Del mismo modo, la fórmula [matemáticas] zr ^ {i \ theta} [/ matemáticas] gira el número complejo [matemáticas] z [/ matemáticas] en el sentido de las agujas del reloj por el ángulo [matemáticas] \ theta \ ln r [/ matemáticas].

Cualquier número complejo puede expresarse en la forma [math] z = re ^ {i \ theta} [/ math], para algunos [math] r> 0, 0 \ leq \ theta \ le 2 \ pi [/ math]. Entonces, calcular [matemáticas] z ^ {ix} = (re ^ {i \ theta}) ^ {ix} = r ^ {ix} e ^ {(i \ theta) (ix)} = r ^ {ix} e ^ {-x \ theta} [/ math]

El último es un número complejo de unidades [matemáticas] r ^ {ix} = e ^ {ix \ ln r} [/ matemáticas] multiplicado por un número real [matemáticas] e ^ {- x \ theta} [/ matemáticas], por lo que aumenta un número complejo [matemático] z [/ matemático] en una cantidad imaginaria lo rota proporcionalmente al registro de su magnitud, y lo escala inversamente proporcional a su argumento.

¿Intuitivo? Diablos no.

Answer 2

A2A: [matemáticas] x ^ i = e ^ {i \ ln (x)} = \ cos (\ ln (x)) + i \ sin (\ ln (x)) [/ math]. Entonces, si [math] x [/ math] es un real positivo, se podría pensar que va a un punto en el círculo unitario en un espacio complejo correspondiente a un ángulo en radianes de [math] \ ln (x) [/ matemáticas].

Answer 3

Entendiendo e a la pi i

Mire este video para tener una intuición de elevar e al poder pi i.

Como 3Blue1Brown ha explicado en el video, si la base es e, elevarla a un poder puramente imaginario solo llegaría al círculo unitario, sin aplastar ni estirar.

Ya que

[matemáticas] x ^ i = e ^ {i \ ln x} \ tag * {} [/ matemáticas]

Es lo mismo que elevar e a un número puramente imaginario, que es intuitivo como se explica en el video.

Answer 4

Para llegar a la intuición detrás de [matemáticas] r ^ i [/ matemáticas] donde [matemáticas] r [/ matemáticas] es un número real, realmente tenemos que llegar a la intuición detrás de la Fórmula de Euler:

[matemáticas] e ^ {i \ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta [/ math]

El lado derecho de la fórmula de Euler son las coordenadas rectangulares del punto en el círculo unitario en ángulo [matemática] \ theta. [/ Matemática] Hay una parte real de [matemática] \ cos \ theta [/ matemática] y una parte imaginaria de [matemáticas] \ sin \ theta. [/ matemáticas]

Eso es bastante fácil. La tarea de obtener una intuición para la fórmula de Euler es entender por qué el punto en el círculo unitario en ángulo [matemática] \ theta [/ matemática] es [matemática] e ^ {i \ theta}. [/ Matemática]

Para cualquier función, la línea tangente en [matemáticas] x = r [/ matemáticas] viene dada por los dos primeros términos de la expansión de Taylor: [matemáticas] f (x) \ aprox. F (r) + (xr) f ‘( r). [/ math] El hecho básico sobre [math] e ^ x [/ math] es que resuelve [math] f ‘= f. [/ math] Entonces para [math] | x | \ ll 1 [/ math], es decir [math] x [/ math] cerca de [math] r = 0, [/ math] obtenemos

[matemáticas] e ^ x \ aprox e ^ 0 + (x-0) e ^ 0 = 1 + x [/ matemáticas]

Asumimos que [math] x [/ math] es real y muy pequeño. El primer paso para obtener intuición es aceptar o asumir que esto se cumple cuando el exponente es imaginario y pequeño. Es decir, para [matemáticas] | x | \ ll 1 [/ matemáticas],

[matemáticas] e ^ {ix} \ aprox 1 + ix [/ matemáticas]

Eso no fue un gran salto, pero es realmente todo lo que necesitamos. [matemática] z = 1 + ix [/ matemática] es una pequeña astilla, un cabello fuera del círculo unitario justo arriba de [matemática] 1 + 0i. [/ matemática] Entonces la multiplicación por [matemática] z [/ matemática] es (aproximadamente ) una rotación por [matemáticas] \ ángulo z. [/ matemáticas] ¿Cuál es ese ángulo?

[matemática] \ angle z = \ angle (1 + ix) = \ arctan \ dfrac x 1 = \ arctan x \ aprox x [/ math]

Cuando [math] x [/ math] es pequeñito, su seno, tangente y sí mismo son casi lo mismo. Si nos molestamos en hacer la expansión de Taylor alrededor de cero, veríamos que los primeros términos son siempre [matemática] 0 + x. [/ Matemática]

Ahora elevamos [matemática] 1 + ix [/ matemática] a una gran potencia [matemática] n [/ matemática], generando un ángulo de tamaño regular desde nuestro pequeño.

Entonces [matemáticas] \ angle z ^ n = n \ angle z \ aprox nx [/ math]

Como [math] x [/ math] es pequeñito y [math] z [/ math] está muy cerca del círculo unitario [math] | z ^ n | = | z | ^ n \ aprox 1 ^ n = 1 [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] z ^ n [/ matemáticas] está aproximadamente en el círculo unitario en ángulo [matemáticas] nx [/ matemáticas]:

[matemáticas] z ^ n = (1 + ix) ^ n \ aprox \ cos (nx) + i \ sin (nx) [/ matemáticas]

[matemáticas] (e ^ {ix}) ^ n \ aprox \ cos (nx) + i \ sin (nx) [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {ixn} \ aprox \ cos (nx) + i \ sin (nx) [/ matemáticas]

Si llamamos a [math] \ theta = nx [/ math],

[matemáticas] e ^ {i \ theta} \ aprox \ cos \ theta + i \ sin \ theta [/ matemáticas]

En resumen, ahora tenemos una intuición sobre la fórmula de Euler. Comenzamos desde una astilla de un número complejo, uno con una pequeña parte imaginaria [matemática] z = 1 + ix. [/ Matemática] Luego notamos que la aproximación habitual [matemática] e ^ {\ epsilon} \ aprox 1+ \ epsilon [/ math] aplicado a un pequeño exponente imaginario significa [math] e ^ {ix} \ aprox 1 + ix. [/ math] Entonces la multiplicación por [math] 1 + ix [/ math] se considera una rotación aproximada de [matemáticas] x [/ matemáticas] radianes. Entonces [math] (1 + ix) ^ n [/ math] está aproximadamente en el círculo unitario en ángulo [math] nx. [/ Math] Llamando a nuestro ángulo [math] \ theta = nx [/ math] y poniéndolo todo juntos obtenemos la fórmula de Euler, al menos en aproximación. A medida que [math] x [/ math] se hace más pequeño, la aproximación mejora y mejora.

¿Qué tal [matemáticas] r ^ i [/ matemáticas], donde [matemáticas] r [/ matemáticas] es real? Asumamos que [math] r> 0. [/ math] Entonces

[matemáticas] r ^ i = (e ^ {\ ln r}) ^ i = e ^ {i \ ln r} = \ cos \ ln r + i \ sin \ ln r [/ matemáticas]

[math] r ^ i [/ math] está en el círculo unitario en ángulo [math] \ ln r [/ math] radianes.