A2A: Los números a, b, c, d son 4 términos consecutivos de una progresión aritmética y a + b + c + d = 12. Encuentra el producto más negativo de estos 4 números.
Deje que [math] 2x [/ math] sea la diferencia común entre los términos. Entonces nosotros tenemos
[matemáticas] \ qquad \ begin {align} a & = 3-3x \\ b & = 3-x \\ c & = 3 + x \\ d & = 3 + 3x \ end {align} [/ math]
El producto de los términos es [matemática] f (x) = (3-3x) (3-x) (3 + x) (3 + 3x), [/ matemática] que debemos minimizar. La derivada, [matemática] f ‘(x) = 36x (x ^ 2–5), [/ matemática] que tiene raíces [matemática] 0 [/ matemática] y [matemática] \ pm \ sqrt5. [/ Matemática]
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Para encontrar los valores de [math] f (x) [/ math] en estas raíces, primero lo multiplicamos.
[matemáticas] \ qquad f (x) = 9x ^ 4–90x ^ 2 + 81 [/ matemáticas]
entonces, para cada una de las raíces de [math] f ‘(x), [/ math] es fácil calcular el valor de [math] f (x): [/ math]
[matemáticas] \ qquad \ begin {array} {ccccl} f (- \ sqrt {5}) & = & 9 \ times 25-90 \ times 5 + 81 & = & – 144, \\ f (0) & = & 9 \ veces 0-90 \ veces 0 + 81 & = & 81, \ text {y} \\ f (\ sqrt {5}) & = & 9 \ veces 25-90 \ veces 5 + 81 & = & – 144. \ end {array} [/ math]
Entonces, el producto más negativo es [matemática] -144, [/ matemática] que ocurre cuando la diferencia común es [matemática] \ pm2 \ sqrt5. [/ Matemática]