¿Cómo demuestro que el valor mínimo de [math] x + \ dfrac {4} {x ^ 2} [/ math] es [math] 3 [/ math]?

Answer 1

Como todos han señalado, la pregunta en su forma actual es incorrecta. Probablemente deberíamos restringir el dominio a [math] x \ in (0, \ infty) [/ math]. (Por cierto, cada vez que consideramos los extremos globales de alguna función, la primera pregunta siempre debe ser sobre qué dominio. Sin identificar adecuadamente el dominio en el que nos restringimos, podemos encontrarnos con una situación como esta).

Muchos han solucionado el problema usando cálculos. Este es un método bastante general. Los extremos aparecen en los llamados puntos críticos (donde la primera derivada es cero o indefinida) o en el límite del dominio. La llamada segunda prueba derivada arroja luz sobre el clima, los puntos críticos son mínimos o máximos locales . Sin embargo, para encontrar extremos globales, es necesario comparar todos los locales y también cómo se comporta la función al final del dominio. En este caso, por ejemplo, encontramos que hay un mínimo local en 2 con valor 3, y el comportamiento de la función cuando [math] x \ to 0 [/ math] y [math] x \ to \ infty [/ matemática] ambos están explotando hasta el infinito. Solo entonces podemos concluir que [math] 3 [/ math] es un mínimo global. (Para más detalles, otras respuestas ya han realizado los cálculos).

Sin embargo, hay otra forma de tratar funciones de este tipo (funciones que implican un término de poder positivo y un término de poder negativo). Siempre podemos usar el famoso “promedio aritmético no es menor que el promedio geométrico”. Para ser precisos, deje que [math] a_1, \ ldots, a_n [/ math] sean [math] n [/ math] números positivos. Entonces

[math] \ frac {a_1 + \ cdots + a_n} {n} \ ge \ sqrt [n] {a_1 \ cdots a_n} [/ math]

y la igualdad se mantiene si y solo si todos los números son iguales.

Ahora para nuestra función, tenemos

[matemáticas] f (x) = x + \ frac {4} {x ^ 2} = \ frac12 x + \ frac12 x + \ frac {4} {x ^ 2} \ ge3 \ sqrt [3] {\ frac12 x \ cdot \ frac12 x \ cdot \ frac {4} {x ^ 2}} = 3 [/ math]

y la igualdad se cumple si y solo si [matemáticas] x / 2 = 4 / x ^ 2 [/ matemáticas], es decir cuando [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas]. Por lo tanto, el mínimo es [matemática] 3 [/ matemática] que ocurre en [matemática] x = 2 [/ matemática].

Answer 2

Ha pasado MUCHO tiempo desde que hice esto, así que perdona cualquier error tipográfico o error 🙂

Nota: a partir del enunciado de la pregunta, es obvio que la función / expresión se define en todas partes excepto en x = 0 ya que está en el denominador en uno de los términos (4 / x ^ 2). Por lo tanto, el intervalo debe especificarse para mayor claridad. En el intervalo (-inf, 0), la función / expresión se aproxima a -inf cuando x se acerca a -inf (ya que el término 4 / x ^ 2 tiende a cero) y a + inf cuando x se acerca a cero desde la izquierda, por lo sin mínimo en ese rango. El rango que nos interesa es (0, + inf)

Para demostrar que 3 es el valor mínimo de la función / expresión, debe mostrar 2 cosas:

1. que la función / expresión tiene un mínimo / máximo en el rango especificado: puede hacer esto calculando la derivada y equiparándola a cero. El valor de x le dará el mínimo / máximo. Aún no has terminado 😉
2. que el valor obtenido es el único mínimo posible en el intervalo especificado anteriormente: se calcula la segunda derivada de la función / expresión en el valor de x obtenido anteriormente. Si la segunda derivada es + ve, entonces la función aumenta alrededor de ese punto (es decir, es un mínimo); si es -ve, entonces está disminuyendo (es decir, es un máximo).

Espero que tenga sentido. Aquí hay información de Wolfram Alpha que ayuda a visualizar el problema. Te dejaré los pasos de trabajar en la primera y segunda derivada para ti 🙂

Y Wolfram está de acuerdo 🙂

Answer 3

Es importante tener en cuenta que el valor [math] 3 [/ math] no es un mínimo absoluto (lo que se implica simplemente diciendo “mínimo”), sino más bien un mínimo local (tomar [math] -2 [/ math], por ejemplo).

Sin embargo, para mostrar que [matemáticas] 3 [/ matemáticas] es un mínimo de [matemáticas] f (x) = x + \ dfrac {4} {x ^ 2} [/ matemáticas], debemos encontrar [matemáticas] f ‘(x) [/ math] y ajústelo a cero (el punto donde la línea tangente tiene una pendiente de cero es mínimo). Use la definición de una derivada:

[matemáticas] \ dfrac {d} {dx} f (x) = \ lim_ {h \ a 0} \ dfrac {f (x + h) – f (x)} {h} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ lim_ {h \ a 0} \ dfrac {(x + h) + \ dfrac {4} {(x + h) ^ 2} – (x + \ dfrac {4} {x ^ 2}) } {h} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ lim_ {h \ a 0} \ dfrac {x + h + \ dfrac {4} {x ^ 2 + 2xh + h ^ 2} – x – \ dfrac {4} {x ^ 2}} { h} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ lim_ {h \ a 0} \ dfrac {h + \ dfrac {4x ^ 2} {x ^ 2 (x ^ 2 + 2xh + h ^ 2)} – \ dfrac {4x ^ 2 + 8xh + 4h ^ 2} {x ^ 2 (x ^ 2 + 2xh + h ^ 2)}} {h} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ lim_ {h \ a 0} \ dfrac {h + \ dfrac {4x ^ 2 – 4x ^ 2-8xh-4h ^ 2} {x ^ 2 (x ^ 2 + 2xh + h ^ 2)} } {h} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ lim_ {h \ a 0} \ dfrac {1} {h} (h + \ dfrac {-8xh-4h ^ 2} {x ^ 2 (x ^ 2 + 2xh + h ^ 2)}) [/matemáticas]

[matemáticas] = \ lim_ {h \ a 0} \ dfrac {h} {h} + \ dfrac {h (-8x-4h)} {h (x ^ 2) (x ^ 2 + 2xh + h ^ 2) }[/matemáticas]

[matemáticas] = \ lim_ {h \ a 0} 1 + \ dfrac {-8x-4h} {x ^ 2 (x ^ 2 + 2xh + h ^ 2)} [/ matemáticas]

Ahora que [math] h [/ math] ha sido eliminado del denominador, simplemente podemos hacer la sustitución [math] h = 0 [/ math] para encontrar el límite.

[matemáticas] \ dfrac {d} {dx} f (x) = 1 + \ dfrac {-8x} {x ^ 4} [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = 1 – \ dfrac {8} {x ^ 3} [/ matemáticas]

Ahora, para encontrar el mínimo, ajústelo a cero y resuelva:

[matemáticas] 1 – \ dfrac {8} {x ^ 3} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {8} {x ^ 3} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 = 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] (nota: otras dos soluciones son complejas y pueden ignorarse)

Ahora sabemos que el mínimo ocurre en [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas]. ¿Qué es [matemáticas] f (2) [/ matemáticas]?

[matemáticas] f (2) = 2 + \ dfrac {4} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 3 [/ matemáticas]

Por lo tanto, el mínimo local de la función es [matemática] 3 [/ matemática], en [matemática] x = 2 [/ matemática].