Siempre que desee comprender cuál es la diferencia entre dos objetos matemáticos, debe comenzar con sus definiciones.
Para limitar el alcance de la discusión, consideremos solo funciones de variable única real. La definición de una función continua se puede enmarcar de varias maneras: notación [matemática] \ epsilon- \ delta [/ matemática], notación límite, a través de cambios o secuencias infinitamente pequeñas.
En una notación [math] \ epsilon- \ delta [/ math] una función [math] f (x) [/ math] es continua en un punto [math] x_0 [/ math] de su dominio si es para cualquier número real [ matemática] \ epsilon> 0 [/ matemática] siempre existe otro número real [matemática] \ delta> 0 [/ matemática] tal que de [matemática] | x – x_0 | <\ delta [/ math] se deduce que [math] | f (x) – f (x_0) | <\ epsilon [/ math].
En una notación límite: una función [matemática] f (x) [/ matemática] es continua en [matemática] x = x_0 [/ matemática] si
- ¿Cómo demuestro que el valor mínimo de [math] x + \ dfrac {4} {x ^ 2} [/ math] es [math] 3 [/ math]?
- ¿Cuáles son dos funciones distintas con derivadas iguales?
- ¿Cómo identificamos la periodicidad de una función dada?
- ¿Qué quieres decir con función en matemáticas?
- ¿Es modular una función matemática? Si es así, ¿se puede graficar?
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to x_0} f (x) = f (x_0) \ tag {1} [/ matemáticas]
Si ( 1 ) no se cumple, entonces [matemática] f (x) [/ matemática] se dice que es discontinua en [matemática] x = x_0 [/ matemática]. Observe que normalmente cuando se calcula el límite de una función [math] x [/ math] no toma el valor de [math] x_0 [/ math], solo tiene que estar lo suficientemente cerca de él. Pero en el caso de una función continua (y solo en ese caso) es irrelevante si [math] x [/ math], aunque tiende a [math] x_0 [/ math], toma ese valor o no.
De manera algo más intuitiva, podemos pensar en la continuidad de una función al rastrear sus valores de salida mientras hacemos la transición de un valor de entrada a otro. Por ejemplo, la transición de [matemática] x_0 [/ matemática] a algún otro valor [matemática] x [/ matemática] puede representarse como [matemática] \ Delta x_0 = x – x_0 [/ matemática]. Entonces, razonamos, el nuevo valor de salida de una función [matemática] y = f (x) = f (x_0 + \ Delta x_0) [/ matemática] diferirá de [matemática] y_0 = f (x_0) [/ matemática] por:
[matemáticas] \ Delta y_0 = y-y_0 = f (x) – f (x_0) = f (x + \ Delta x_0) – f (x_0) \ tag * {} [/ matemáticas]
y afirmamos que para que una función [matemática] f (x) [/ matemática] sea continua en [matemática] x = x_0 [/ matemática] es necesaria y suficiente para [matemática] \ Delta y_0 \ a 0 [/ matemática ] como [matemáticas] \ Delta x_0 \ a 0 [/ matemáticas].
Sin embargo, en el lenguaje de secuencias: si se trata de cualquier secuencia de [math] x_i [/ math] del dominio de la función:
[matemáticas] x_1, x_2, \ puntos, x_n, \ puntos \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
que converge a [math] x_0 [/ math] la secuencia correspondiente de los valores de la función:
[matemáticas] f (x_1), f (x_2), \ puntos, f (x_n), \ puntos \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
converge a [matemática] f (x_0) [/ matemática] luego [matemática] f (x) [/ matemática] se dice que es continua en [matemática] x_0 [/ matemática].
El siguiente concepto para controlar es una derivada de una función y el hecho de que estas derivadas tienen orden : primera derivada, segunda derivada, tercera derivada, etc.
Por último, se dice que una función es analítica si su serie Taylor sobre [math] x_0 [/ math] converge con esa función en algún vecindario para cualquier [math] x_0 [/ math] de su dominio respectivo. Suena un poco extraño, pero el establecimiento de una analiticidad de una función requiere una prueba.
La serie Taylor implica derivados de órdenes arbitrarias. Ejemplos de funciones analíticas: [math] \ exp (x), \ sin (x), \ cos (x) [/ math].
En términos de la implicación IF p THEN q: SI una función es diferenciable ENTONCES es continua (un teorema demostrado al principio de un curso de análisis). Observe que lo contrario no es cierto: el hecho de que una función sea continua no garantiza que sea diferenciable (en cada punto de su dominio). Un ejemplo clásico es [matemática] f (x) = | x | [/ matemática] – mientras continua en [matemática] \ mathbb {R} [/ matemática], esta función no tiene una derivada en [matemática] x = 0 [/matemáticas]. Hay, por supuesto, otros ejemplos más exóticos (cubiertos aquí en Quora) como una curva patológica conocida como copo de nieve de Koch: es continua en todas partes, pero en ninguna parte es diferenciable.
Por otro lado, una función analítica es infinitamente diferenciable, posee derivados de cualquier orden que deseemos y, por lo tanto, se garantiza que sea continua.