¿Cuáles son dos funciones distintas con derivadas iguales? Educación te da un futuro mejor

I. Considere estas dos funciones para [math] x \ in (- \ infty, + \ infty) [/ math]:

[matemáticas] f (x) = \ arctan (x) \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] g (x) = \ arcsin \ Big (\ dfrac {x} {\ sqrt {1 + x ^ 2}} \ Big) \ tag * {} [/ math]

Calcule las derivadas de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] y [matemáticas] g (x) [/ matemáticas] con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas]:

[matemáticas] f_x ‘(x) = \ dfrac {1} {1 + x ^ 2} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] g_x ‘(x) = \ dfrac {1} {\ sqrt {1- \ dfrac {x ^ 2} {1 + x ^ 2}}} \ cdot \ dfrac {\ sqrt {1 + x ^ 2} – \ dfrac {x ^ 2} {\ sqrt {1 + x ^ 2}}} {1 + x ^ 2} = \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {1} {1 + x ^ 2} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] f_x ‘(x) = g_x’ (x) \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Además, según el teorema correspondiente del análisis matemático:

[matemáticas] \ arctan (x) = \ arcsin \ Big (\ dfrac {x} {\ sqrt {1 + x ^ 2}} \ Big) + C \ tag * {} [/ math]

donde [math] C [/ math] es una constante que se puede recuperar si ponemos [math] x = 0 [/ math]:

[matemáticas] 0 = 0 + C \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] C = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Por lo tanto:

[matemáticas] \ arctan (x) = \ arcsin \ Big (\ dfrac {x} {\ sqrt {1 + x ^ 2}} \ Big) \ tag * {} [/ math]

II Como ejercicio, demuestre que para [matemáticas] x \ in (-1, 1) [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ arcsin (x) = \ arctan \ Big (\ dfrac {x} {\ sqrt {1-x ^ 2}} \ Big) \ tag * {} [/ math]

III. Otro par de funciones para jugar:

[matemáticas] f (x) = \ arctan (x) \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] g (x) = \ dfrac {1} {2} \ arctan \ Big (\ dfrac {2x} {1-x ^ 2} \ Big) \ tag * {} [/ math]

¿Que está pasando aqui?

EDITAR (según los comentarios del Sr. Lloyd):

El Sr. Lloyd saca un buen punto. A las matemáticas no les gusta la ambigüedad y un arma contra ella es una definición. Sin embargo, nos encontramos rápidamente con problemas, ya que el concepto de una función es tan vasto. ¿Valor real o valor complejo? Analítico o no? ¿Variable única o multivariable? ¿Qué pasa con una familia de funciones que toman un flujo de palabras y / o símbolos como su entrada y devuelven Verdadero si ese flujo constituye una prueba de que el viaje en el tiempo es posible y Falso de lo contrario? Otra función puede tomar un conjunto de ubicaciones y colores de píxeles como su entrada y retorno. True de ese conjunto constituye una pintura de Mona Lisa (La Gioconda) de Leonardo da Vinci y False de lo contrario.

Para limitar el alcance de la discusión: consideremos por ahora solo funciones analíticas de variable única real a real. Una forma de proceder aquí es elaborar una definición en términos positivos de una condición cuando “dos funciones son iguales” y luego afirmar que las funciones en cualquier par que no satisfaga esa definición son distintas o distintas.

“Dos funciones son iguales” ¿dónde? En un punto? En un intervalo? Como trampolín: dos funciones [matemática] f (x) [/ matemática] y [matemática] g (x) [/ matemática] son iguales en un punto [matemático] x_0 [/ matemático] de sus respectivos dominios iff [matemático ] f (x_0) = g (x_0) [/ math]. Además, dos funciones [matemática] f (x) [/ matemática] y [matemática] g (x) [/ matemática] son iguales en algún intervalo (de sus respectivos dominios) si la definición anterior se cumple para cualquier [matemática] x [ / math] de ese intervalo.

Ahora, [matemática] f (x) = x [/ matemática] y [matemática] g (x) = -x [/ matemática] son iguales en [matemática] x_0 = 0 [/ matemática] pero son diferentes / no iguales / distinto en otra parte.

Otra cosa a tener en cuenta es que, tomando la pregunta en su valor nominal o al menos así es como la leo, no estamos discutiendo tipos o familias de funciones, sino funciones como entidades separadas. De la definición anterior: [matemática] f (x) = x + 0 [/ matemática] y [matemática] g (x) = x + 1 [/ matemática] son diferentes o distintas para cualquier [matemática] x \ in (- \ infty, + \ infty) [/ math].

El teorema al que me refería anteriormente es el siguiente: si [math] f (x) [/ math] y [math] g (x) [/ math] son continuas en algún intervalo [math] \ mathbb {X} [/ matemática], tener derivadas finitas en [matemática] \ mathbb {X} [/ matemática] y para cualquier [matemática] x [/ matemática] de ese intervalo:

[matemáticas] f_x ‘(x) = g_x’ (x) \ tag {1} [/ matemáticas]

entonces:

[matemáticas] f (x) = g (x) + C, \; C = \ text {const} \ tag * {} [/ math]

Prueba (esquema): construcción [matemática] d (x) = f (x) – g (x) [/ matemática]. A partir de los teoremas anteriores, demostramos que dado que [matemática] f (x) [/ matemática] y [matemática] g (x) [/ matemática] son continuas, entonces [matemática] d (x) [/ matemática] debe ser continua. A partir de los otros teoremas anteriores, demostramos que la primera derivada de [math] d (x) [/ math] con respecto a [math] x [/ math] es:

[matemáticas] d_x ‘(x) = f_x’ (x) – g_x ‘(x) = 0 \ tag {2} [/ matemáticas]

según ( 1 ).

Por último, utilizamos el teorema de Lagrange que establece que: si [math] f (x) [/ math] está bien definido y es continuo en un intervalo cerrado [math] [a, b] [/ math], tiene una derivada finita en al menos un intervalo abierto [matemática] (a, b) [/ matemática] entonces existe un punto [matemática] c [/ matemática] entre [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática], [matemáticas] a <c <b [/ matemáticas], de modo que:

[matemáticas] f (b) – f (a) = f_x ‘(c) \ cdot (b – a) \ tag {3} [/ matemáticas]

Usando el teorema de Lagrange, seleccionamos dos puntos arbitrarios, [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] x_0 [/ matemáticas], de [matemáticas] \ mathbb {X} [/ matemáticas] y afirmamos que existe un punto [matemáticas ] c [/ math] entre [math] x [/ math] y [math] x_0 [/ math] (y, por lo tanto, en [math] \ mathbb {X} [/ math]) de modo que:

[matemáticas] d (x) – d (x_0) = d_x ‘(c) \ cdot (x – x_0) \ tag * {} [/ matemáticas]

según ( 3 ).

Pero [math] d_x ‘(x) = 0 [/ math] para cualquier [math] x \ in \ mathbb {X} [/ math], incluyendo [math] x = c [/ math] (según ( 2 ) ) y por lo tanto:

[matemáticas] d (x) – d (x_0) = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] d (x) = d (x_0) \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Y dado que hemos elegido valores arbitrarios para [math] x [/ math] y [math] x_0 [/ math] se deduce que [math] d (x) [/ math] debe ser constante en todo el intervalo [math] \ mathbb {X} [/ math]. Por lo tanto:

[matemáticas] d (x) = f (x) – g (x) = C, \; C = \ text {const} \ tag * {} [/ math]

Fin de la prueba.