Esta es una expansión asintótica bien conocida del número de particiones de [math] n [/ math], denotada por [math] p (n) [/ math].
Una partición de [math] n [/ math] es solo una forma de escribir [math] n [/ math] como una suma de números (naturales). Por ejemplo, [matemáticas] 23 = 9 + 9 + 4 + 1 [/ matemáticas] es una partición de [matemáticas] 23 [/ matemáticas]. Excluimos [math] 0 [/ math] ‘s, por supuesto, en tal representación. El número de particiones posibles de [math] n [/ math] es lo que llamamos [math] p (n) [/ math]. Por ejemplo,
[matemáticas] 5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 [/ matemáticas]
son todas las formas de particionar [matemáticas] 5 [/ matemáticas], y así [matemáticas] p (5) = 7 [/ matemáticas]. Observe que el orden de las partes no importa, y que la “partición” trivial, [math] 5 [/ math], está incluida.
- Si f ‘(3) = 10, f’ (6) = 7, ¿cómo podemos calcular f (6)?
- ¿Qué es 1 + 4?
- ¿Cómo resuelvo esta integración [math] \ displaystyle \ lim_ {k \ to \ infty} \ displaystyle \ int_ \ psi ^ \ eta \ dfrac {\ mathrm {d} x} {\ varphi + \ sin ^ 2x \ cdot \ sin ^ 2 (x + 1) \ cdots \ sin ^ 2 (x + k)} [/ math]? [matemática] \ psi, \ eta \ in \ mathbb {R} [/ matemática] y [matemática] \ varphi> 0. [/ matemática]
- A y B son 2 segmentos de línea paralelos de 1 unidad separados 1 unidad. ¿Cuál es la distancia promedio entre A y B? Tengo [matemáticas] \ ln (3 + 2 \ sqrt {2}) + 1 – \ sqrt {2} [/ matemáticas]
- ¿Cuál es el dominio de y = x ^ x?
La función [matemáticas] p (n) [/ matemáticas] es una función fascinante con una historia fascinante. Entre todas las funciones combinatorias y teóricas numéricas, de las cuales hay miles, se encuentra en la estrecha frontera entre el vasto desierto de lo imposible y el pequeño oasis de lo simple.
Tal como está, la fórmula citada en la pregunta no significa mucho, porque las funciones [matemáticas] A_k (n) [/ matemáticas] y el número [matemáticas] v [/ matemáticas] no están definidos. Esto último es fácil de solucionar: [math] v [/ math] simplemente denota el número de términos que desea calcular en la expansión. Elija [math] v = 1 [/ math] y obtendrá una aproximación horrible; elija [matemática] v = 100 [/ matemática] y obtendrá una mejor, y lo bueno que sea depende de qué tan grande sea [matemática] n [/ matemática]. De hecho, desea elegir [matemáticas] v = \ sqrt {n} [/ matemáticas] más o menos.
Esas cosas [matemáticas] A_k (n) [/ matemáticas] son
[matemáticas] \ displaystyle A_k (n) = \ sum _ {(m, k) = 1} \ exp \ left (\ pi i (s (m, k) -2mn / k) \ right) [/ math]
La suma está sobre los números [matemática] m [/ matemática] entre [matemática] 0 [/ matemática] y [matemática] k [/ matemática] que son relativamente primos a [matemática] k [/ matemática]. La función [matemáticas] s (m, k) [/ matemáticas] es una suma de Dedekind:
[matemáticas] \ displaystyle s (m, k) = \ sum_ {j} \ Lambda (\ frac {j} {k}) \ Lambda (\ frac {mj} {k}) [/ math]
donde [math] \ Lambda [/ math] es una función de diente de sierra [math] \ Lambda (x) = x- \ lfloor x \ rfloor -1/2 [/ math] excepto para los enteros, donde [math] \ Lambda (m ) = 0 [/ matemáticas].
Esta fórmula es milagrosa. Es totalmente inesperado, como espero que todos estemos de acuerdo: la función elemental simple de definir [matemáticas] p (n) [/ matemáticas] es igual a una mezcla barroca de derivadas, exponenciales, raíces cuadradas y [matemáticas] \ pi [/ math] ‘s. Parte de la atracción de esta fórmula es que puede usarse para calcular eficientemente [matemáticas] p (n) [/ matemáticas], al menos de manera más eficiente de lo que sugerirían los métodos ingenuos. Pero aún más importante, las raíces teóricas de esta fórmula residen en la hermosa (y aparentemente no relacionada) teoría de las formas modulares, y específicamente la función Dedekind eta.
En “The Theory of Partitions”, Andrews da un ejemplo de cálculo [math] p (200) [/ math], el número de formas de particionar [math] 200 [/ math]. Resulta que [math] p (200) = 3972999029388 [/ math], y usar nuestra fórmula con [math] v = 8 [/ math] da las siguientes aproximaciones sucesivas:
[matemáticas] k = 1: +3972998993185.896 [/ matemáticas]
[matemáticas] k = 2: +36282.978 [/ matemáticas]
[matemáticas] k = 3: -87.555 [/ matemáticas]
[matemáticas] k = 4: +5.147 [/ matemáticas]
[matemáticas] k = 5: +1.424 [/ matemáticas]
[matemáticas] k = 6: +0.071 [/ matemáticas]
[matemáticas] k = 7: +0.000 [/ matemáticas]
[matemáticas] k = 8: +0.043 [/ matemáticas]
para un total general de [matemáticas] 3972999029388.004 [/ matemáticas], solo [matemáticas] 0.004 [/ matemáticas] lejos del valor real que está en billones.
Como puede ver, el primer término en la expansión, con [math] k = 1 [/ math], ya es una aproximación increíblemente cercana de [math] p (n) [/ math]. Históricamente, esto proporcionó el primer vistazo a nuestra fórmula como la siguiente expansión asintótica, que es más simple pero aún muy sorprendente:
[matemáticas] \ displaystyle p (n) \ sim \ frac {1} {4n \ sqrt {3}} \ exp \ left (\ pi \ sqrt {\ frac {2n} {3}} \ right) [/ math]
Considera lo increíble que es esto. La función [matemáticas] p (n) [/ matemáticas] crece a este ritmo sub-exponencial extraño, y nosotros los humanos somos capaces de identificar con gran precisión los coeficientes y constantes que intervienen en esta tasa de crecimiento.
La fórmula más simple se debe a Hardy y Ramanujan, quienes luego mejoraron construyendo la expansión completa en la pregunta. Rademacher descubrió una fórmula ligeramente refinada que proporciona una expansión en serie infinita para [math] p (n) [/ math].
Es raro que podamos entender una función sutil y simple de esta manera precisa. Las extensiones y variaciones sobre este tema han mantenido ocupados a los teóricos de los números analíticos durante los últimos 100 años, y probablemente continuarán haciéndolo durante otros 1,000.
No creo que pueda incluir una prueba completa de la fórmula en una respuesta de Quora, pero no puedo resistirme a mostrar solo el primer paso, que es profundamente importante. Al igual que con muchas de esas funciones, una de las primeras cosas que debemos considerar cuando nos enfrentamos a una función como [math] p (n) [/ math] es su función generadora:
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty p (n) x ^ n [/ matemáticas]
Esta es solo la suma [matemática] f (x) = 1 + x + 2x ^ 2 + 3x ^ 3 + 5x ^ 4 + 7x ^ 5 + \ ldots [/ matemática], donde cada potencia [matemática] x ^ n [ / math] está precedido por [math] p (n) [/ math] como su coeficiente.
La clave para comprender las particiones es la siguiente fórmula hermosa:
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ prod_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {1} {1-x ^ k} [/ matemáticas]
¿Por qué es esto cierto? Considere los diversos términos en el lado derecho:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {1-x} = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4 + \ ldots [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {1-x ^ 2} = 1 + x ^ 2 + x ^ 4 + x ^ 6 + x ^ 8 + \ ldots [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {1-x ^ 3} = 1 + x ^ 3 + x ^ 6 + x ^ 9 + x ^ {12} + \ ldots [/ math]
Esos son solo ejemplos de la conocida fórmula para una serie geométrica infinita, aunque es mejor pensar en ellos como identidades formales de series de poder. Cuando multiplicamos todo esto y lo expandimos, ¿cuál será el coeficiente de [matemáticas] x ^ n [/ matemáticas]? Va a venir de varias opciones de [matemática] x ^ m [/ matemática] de cada uno de esos términos, y podemos pensar en cada uno de esos términos como contribuyentes de un tipo de partición: la primera es “[matemática] 1 [/ math] “s, el segundo es” [math] 2 [/ math] “s, el tercero es” [math] 3 [/ math] “sy así sucesivamente. Selección [math] x ^ 6 [/ math ] en el tercer término, por ejemplo, debe considerarse como elegir dos [matemáticas] 3 [/ matemáticas], ya que el tercer término ofrece múltiplos de [matemáticas] 3 [/ matemáticas].
El coeficiente de [matemáticas] x ^ n [/ matemáticas] simplemente proviene de elegir las colecciones apropiadas de [matemáticas] 1 [/ matemáticas] s, [matemáticas] 2 [/ matemáticas] s, [matemáticas] 3 [/ matemáticas] s y así sucesivamente, que suman [math] n [/ math], y la cantidad de formas en que esto se puede hacer es exactamente [math] p (n) [/ math]. Este argumento impreciso puede formalizarse sin demasiada dificultad, lo que demuestra la afirmación.
Con ligeras modificaciones, el producto infinito [math] \ prod \ frac {1} {1-x ^ k} [/ math] es la función Dedekind eta, y sus increíbles propiedades de transformación bajo la acción del grupo modular son la base para Este y muchos otros resultados en matemáticas.