Si [math] x [/ math] está restringido a [math] \ mathbb {R} [/ math], entonces el dominio es [math] \ mathbb {R +} [/ math]. Podemos escribir [matemática] x ^ x [/ matemática] como [matemática] e ^ {x * \ ln (x)} [/ matemática], ya que de hecho así es como se debe definir la función exponencial para permitir el exponente y base para ser todos los números reales, en lugar de solo racionales. Para [matemática] x [/ matemática] positiva, [matemática] \ ln (x) [/ matemática] y [matemática] x [/ matemática] ambas existen, y [matemática] e ^ {x * \ ln (x)} [/ math] existe en [math] \ mathbb {R} [/ math]. Sin embargo, para [matemática] x [/ matemática] negativa, [matemática] \ ln (x) [/ matemática] no existe, por lo que [matemática] x ^ x [/ matemática] no está definida. Para [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas], [matemáticas] e ^ {x * \ ln (x)} = e ^ 0 = 1 [/ matemáticas]. Los matemáticos están en disputa sobre el valor de [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] (ya que [matemáticas] \ ln (0) [/ matemáticas] no existe y [matemáticas] 0 ^ n [/ matemáticas] es siempre [matemáticas] 0 [/ matemática] – pero [matemática] n ^ 0 [/ matemática] es siempre [matemática] 1 [/ matemática]), pero por convención es igual a [matemática] 1 [/ matemática].
Por lo tanto, el dominio de [math] x ^ x [/ math] es [math] \ mathbb {R +} [/ math].
El rango, por cierto, es más difícil de encontrar: el máximo es claramente infinito, pero ¿cuál es el mínimo? Sin embargo, como sabemos que [math] x ^ x = e ^ {x * \ ln (x)} [/ math], y [math] e ^ x <e ^ y [/ math] if [math] x < y [/ math] ([math] e ^ x [/ math] está aumentando estrictamente), sabemos que solo tenemos que minimizar [math] x * \ ln (x) [/ math]. La derivada de esto es agradable y limpia – [matemática] \ ln (x) +1 [/ matemática] – e igual a 0 cuando [matemática] \ ln (x) = -1 [/ matemática], o en [matemática] e ^ {- 1} = \ frac {1} {e} [/ math]. El rango, por lo tanto, es [matemática] [{\ frac {1} {e}} ^ {\ frac {1} {e}}, ∞ [[/ matemática].
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