¿Cuál es el dominio de y = x ^ x?

Si [math] x [/ math] está restringido a [math] \ mathbb {R} [/ math], entonces el dominio es [math] \ mathbb {R +} [/ math]. Podemos escribir [matemática] x ^ x [/ matemática] como [matemática] e ^ {x * \ ln (x)} [/ matemática], ya que de hecho así es como se debe definir la función exponencial para permitir el exponente y base para ser todos los números reales, en lugar de solo racionales. Para [matemática] x [/ matemática] positiva, [matemática] \ ln (x) [/ matemática] y [matemática] x [/ matemática] ambas existen, y [matemática] e ^ {x * \ ln (x)} [/ math] existe en [math] \ mathbb {R} [/ math]. Sin embargo, para [matemática] x [/ matemática] negativa, [matemática] \ ln (x) [/ matemática] no existe, por lo que [matemática] x ^ x [/ matemática] no está definida. Para [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas], [matemáticas] e ^ {x * \ ln (x)} = e ^ 0 = 1 [/ matemáticas]. Los matemáticos están en disputa sobre el valor de [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] (ya que [matemáticas] \ ln (0) [/ matemáticas] no existe y [matemáticas] 0 ^ n [/ matemáticas] es siempre [matemáticas] 0 [/ matemática] – pero [matemática] n ^ 0 [/ matemática] es siempre [matemática] 1 [/ matemática]), pero por convención es igual a [matemática] 1 [/ matemática].

Por lo tanto, el dominio de [math] x ^ x [/ math] es [math] \ mathbb {R +} [/ math].

El rango, por cierto, es más difícil de encontrar: el máximo es claramente infinito, pero ¿cuál es el mínimo? Sin embargo, como sabemos que [math] x ^ x = e ^ {x * \ ln (x)} [/ math], y [math] e ^ x <e ^ y [/ math] if [math] x < y [/ math] ([math] e ^ x [/ math] está aumentando estrictamente), sabemos que solo tenemos que minimizar [math] x * \ ln (x) [/ math]. La derivada de esto es agradable y limpia – [matemática] \ ln (x) +1 [/ matemática] – e igual a 0 cuando [matemática] \ ln (x) = -1 [/ matemática], o en [matemática] e ^ {- 1} = \ frac {1} {e} [/ math]. El rango, por lo tanto, es [matemática] [{\ frac {1} {e}} ^ {\ frac {1} {e}}, ∞ [[/ matemática].

Gracias por el A2A!

Suponiendo números reales.

Todo es positivo [matemático] x [/ matemático] incluyendo fracciones simplificadas negativas con denominadores impares. El positivo debería tener sentido, pero veamos la fracción negativa. Suponga que [math] x = – \ frac {p} {q} [/ math] donde [math] \ gcd (p, \, q) = 1 [/ math], [math] q [/ math] es impar, y tanto [math] p [/ math] como [math] q [/ math] son ​​enteros positivos. Entonces:

[matemáticas] \ left (- \ frac {p} {q} \ right) ^ {p / q} = \ left ((- 1) ^ p \ frac {p ^ p} {q ^ p} \ right) ^ {1 / q} = \ sqrt [q] {(- 1) ^ p \ frac {p ^ p} {q ^ p}} [/ math]

Y como [math] q [/ math] es impar, la raíz [math] q [/ math] th de cualquier poder entero de [math] -1 [/ math] es real.

Suponiendo que [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math].

Para [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas], [matemáticas] \ x ^ x [/ matemáticas] es una función continua bien definida en el dominio [matemáticas] (0, \ infty) [/ matemáticas]. Si uno define [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas] (como se hace a menudo), la función es continua en [matemáticas] [0, \ infty] [/ matemáticas].

Para no entero [matemáticas] x <0 [/ matemáticas] tenemos [matemáticas] x ^ x \ notin \ mathbb {R} [/ matemáticas]. Sin embargo, para enteros negativos [matemática] x [/ matemática], entonces [matemática] x ^ x [/ matemática] tiene una solución real.

Por lo tanto, el dominio de [matemáticas] x ^ x [/ matemáticas] al restringirnos a números reales es:

[math] [0, \ infty) \ cup \ mathbb {Z} ^ {-} \ [/ math] (con [math] 0 ^ 0 [/ math] definido y sin superposición de los dos conjuntos aquí).

Ahora el rango (por diversión):

Para [matemática] 0 \ frac {1} {e} [/ matemáticas].

Entonces, para [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas], el rango es el intervalo [matemáticas] [e ^ {- 1 / e}, \ infty) [/ matemáticas].

Agregando los valores para enteros impares negativos, el rango se convierte en:

[matemáticas] [e ^ {- 1 / e}, \ infty) \ cup \ {- (2n + 1) ^ {- (2n + 1)}: n \ in \ mathbb {N} \} [/ math]

Como [math] x ^ x = e ^ {x \ ln x} [/ math] se define en todas partes [math] \ ln x [/ math] es: [math] \ R ^ + [/ math]. Seguramente, cualquier subconjunto también funcionaría igual de bien.

O puede acercarse desde otro ángulo y considerar la exponenciación como una multiplicación repetida, entonces el dominio puede ser [math] \ Z [/ math].

Suponiendo que solo consideremos los valores reales de y, encontramos que alcanza -1 en el extremo inferior (donde x = -1) y ∞ en el extremo superior (ya que los valores positivos de x son igualmente ilimitados).

Dicho esto, si solo consideramos los valores reales de y, la función no es continua, ya que x = -0.5 no tiene una solución para y en números reales, como con todos los demás valores negativos no enteros de x, etc. la región x negativa de la función, y existe en puntos que alternan entre ser positivo y negativo, pero se acercan a 0 a medida que x se vuelve cada vez más negativo.

Todos los números reales