Si f ‘(3) = 10, f’ (6) = 7, ¿cómo podemos calcular f (6)?

Answer 1

Suponiendo que hay una función [matemática] f (x) [/ matemática] que coincide con sus requisitos, entonces también [matemática] f (x) + c [/ matemática] coincide con sus requisitos, porque todas las restricciones solo dependen de [matemática] f ‘(x) [/ matemáticas].

Esto se debe a que la siguiente afirmación es verdadera: [matemática] \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} (f (x) + c) = \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} f (x) = f ‘(x) [/ matemáticas]

Entonces…

Si pudiéramos encontrar una función [matemática] f (x) [/ matemática] con [matemática] f ‘(3) = 10 [/ matemática] y [matemática] f’ (6) = 7 [/ matemática], el valor en [math] f (6) [/ math] podría ser cualquier cosa, porque [math] f (x) + c [/ math] también es una solución válida.

Por supuesto, primero tenemos que verificar si existe tal función. Supongamos que es un polinomio (pero hay muchas más funciones que coinciden con sus requisitos):

[matemáticas] f (x) = ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]

Entonces:

[matemática] f ‘(x) = 2ax + b [/ matemática]

Esto nos da las siguientes ecuaciones:

[matemáticas] (1) 10 = 6a + b [/ matemáticas]

[matemáticas] (2) 7 = 12a + b [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 * (1) – (2) = 13 = b \ Flecha derecha a = -0.5 [/ matemáticas]

Ahora nuestra función inicial se convierte en:

[matemáticas] f (x) = – 0.5x ^ 2 + 13x + c [/ matemáticas]

Ahora hemos demostrado que existe al menos una función que coincide con sus requisitos.

¿Cuál es el valor en [matemáticas] f (6) [/ matemáticas]? Es [matemática] 60 + c [/ matemática], por lo que podría ser cualquier cosa (solo tiene que ajustar [matemática] c [/ matemática]).

Answer 2

No se puede.

El valor de una función nunca está determinado únicamente por un número finito de valores derivados.

De hecho, en general, no existe ninguna relación entre el valor de una función en un número finito de puntos dados y el valor de la derivada en un número finito de puntos dados.

Answer 3

No podemos f ‘(x) nos dice acerca de la forma de la gráfica de f, no donde está posicionada en coordenadas carthesianas. f (x) y g (x) = f (x) +1 tiene la misma derivada.