¿Cómo resuelvo esta integración [math] \ displaystyle \ lim_ {k \ to \ infty} \ displaystyle \ int_ \ psi ^ \ eta \ dfrac {\ mathrm {d} x} {\ varphi + \ sin ^ 2x \ cdot \ sin ^ 2 (x + 1) \ cdots \ sin ^ 2 (x + k)} [/ math]? [matemática] \ psi, \ eta \ in \ mathbb {R} [/ matemática] y [matemática] \ varphi> 0. [/ matemática]

Answer 1

Lema: Sea [math] f_k (x) = \ prod_ {n = 0} ^ {k} \ sin (x + n) [/ math]. Digo que [matemáticas] \ lim_ {k \ to \ infty} f_k (x) = 0 [/ matemáticas].

Prueba de lema: Sea [math] g (x) = \ sin (x) \ sin (x + 1) [/ math]. Usando identidades trigonométricas podemos mostrar que [math] g (x) = \ dfrac {\ cos (1) – \ cos (2x + 1)} {2} [/ math]. Por lo tanto, [math] \ dfrac {\ cos (1) – 1} {2} \ le g (x) \ le \ dfrac {\ cos (1) + 1} {2} [/ math]. Por lo tanto, [matemática] -0.24 <g (x) <0.78 [/ matemática], entonces [matemática] | g (x) | <\ dfrac {4} {5} [/ matemáticas].

Ahora suponga que [math] k [/ math] es un número impar, [math] 2m-1 [/ math]. Entonces [matemáticas] f_ {k} (x) = \ prod_ {n = 0} ^ {2m-1} \ sin (x + n) = \ prod_ {n = 0} ^ {m-1} \ sin (x + 2n) \ sin (x + 2n + 1) = \ prod_ {n = 0} ^ {m-1} g (x + 2n) [/ math]

Por lo tanto [matemáticas] | f_ {2m-1} (x) | = \ left | \ prod_ {n = 0} ^ {m-1} g (x + 2n) \ right | = \ prod_ {n = 0} ^ {m-1} | g (x + 2n) | <\ left (\ dfrac {4} {5} \ right) ^ m [/ math]

Por lo tanto [matemáticas] | f_ {2m} (x) | = | f_ {2m-1} (x) | * | \ sin (x + 2m) | <\ left (\ dfrac {4} {5} \ right) ^ m [/ math].

Por lo tanto, para todas las [matemáticas] k [/ matemáticas] naturales, tenemos [matemáticas] | f_k (x) | <\ left (\ dfrac {4} {5} \ right) ^ {\ frac {k} {2}} [/ math]. Como esta expresión se aproxima a 0 cuando [math] k [/ math] se acerca al infinito, entonces, según el teorema de compresión, [math] \ lim_ {k \ to \ infty} f_k (x) = 0 [/ math]. [matemáticas] \ cuadrado [/ matemáticas]

Solución al problema: El denominador en la integral es simplemente [math] \ phi + f_k ^ 2 (x) [/ math]. Según el Lema, cuando [math] k [/ math] se acerca al infinito, esto simplemente se acerca a [math] \ phi [/ math].

Por lo tanto, la integral es realmente muy simple: [matemáticas] \ displaystyle \ int_ {ψ} ^ {η} \ dfrac {dx} {\ phi} = \ dfrac {η-ψ} {\ phi} [/ math].

Answer 2

Denominador –

[matemática] sin (x) [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] img (e ^ {ix}) [/ matemática]

[matemática] sin ^ {2} (x [/ matemática] [matemática]) [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] img [/ matemática] [matemática] (e ^ {2 * ix}) [/matemáticas]

[matemática] sin (x) .sin (x + 1)… sin (x + k) [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] img (e ^ {i (kx + k / 2 (1 + k)}) [/ matemáticas]

[matemáticas] sin ^ {2} (x) .sin ^ {2} (x + 1)… sin ^ {2} (x + k) [/ matemáticas] [matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] img ( e ^ {2i (kx + k / 2 (1 + k)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] pecado (2 (kx + k / 2 (1 + k)) [/ matemáticas]

Limitación de esta solución: [matemática] x = (π / 2 + nπ) [/ matemática] [matemática] ∀ n ∈ ℤ [/ matemática]

Lo que lo convertirá en suma en lugar de integración.

Answer 3

Cada seno cuadrado está entre 0 y 1, inclusive, y para valores enteros de k, no más de uno (como máximo) puede hacer que el argumento del seno sea un entero entero impar múltiplo de pi / 2 (donde el seno cuadrado es 1) , ya que pi es irracional. Por lo tanto, el límite del producto de los senos al cuadrado será el límite de un producto de un número arbitrariamente grande de números menores que 1, cuyo producto limitante es 0 para todo x. Por lo tanto, uno solo obtiene la integral de 1 / phi de x = psi a x = eta, que es (eta-psi) / phi.