Si mi maestro de geometría tenía razón y entre 2 puntos ‘A’ y ‘B’ hay un punto ‘C’ que está exactamente a medio camino entre ‘A’ y ‘B’, ¿por qué puedo arrojarte un trozo de papel y golpearte, suponiendo que no te mueves y tengo buena puntería?

Answer 1

Me está costando entender esta pregunta. No estoy seguro de cómo quieres decir que los dos aspectos de la pregunta se relacionan entre sí, pero suena mucho a las paradojas de Zenón, específicamente su Paradoja de la dicotomía.

Digamos que el punto A se refiere a la persona que arroja un objeto, llámala Alice. Del mismo modo, el punto B se refiere a alguien que es golpeado por un objeto, llámelo Bob. El objeto, hagámoslo una pelota, es lanzado en línea recta por Alice y golpea a Bob.

Lo que dice tu maestro es que existe un punto C a lo largo de la trayectoria de la pelota que está exactamente a medio camino entre Alice y Bob, llámalo punto C. Pero creo que estás atrapado en pensar en el punto medio entre el punto C y Bob , llamemos a ese punto D. Luego está el punto medio entre el punto D y el punto Bob, llamemos a ese punto E. Luego está el punto medio entre el punto E y Bob, llamémoslo punto F … hasta el infinito .

¿Cómo llegará la pelota a Bob si Alice tiene que lanzar una pelota entre una cantidad infinita de puntos intermedios para viajar primero? Digamos que la distancia entre Alice y Bob es de 2 metros y tiras la pelota a una velocidad de 1 metro por segundo.

La distancia desde Alicia hasta el punto C es [matemática] d_0 = 1 [/ matemática] metro y toma [matemática] t_0 = 1 [/ matemática] segundo para que la pelota recorra esa distancia.

La distancia desde el punto C al punto D es [matemática] d_1 = rac {1} {2} [/ matemática] metro y toma [matemática] t_1 = rac {1} {2} [/ matemática] segundo para que la pelota viajar esa distancia

La distancia desde el punto D al punto E es [matemática] d_2 = rac {1} {4} [/ matemática] metro y se necesita [matemática] t_2 = rac {1} {4} [/ matemática] segundo para que el balón viajar esa distancia

La distancia desde el punto E al punto F es [matemática] d_3 = rac {1} {8} [/ matemática] metro y se necesita [matemática] t_3 = rac {1} {8} [/ matemática] segundo para que la pelota llegue viajar esa distancia … hasta el infinito

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En un número infinito de pasos, la pelota finalmente alcanzará a Bob. Aunque hay un número infinito de pasos para realizar, cada paso requiere menos tiempo para ejecutarse. Si sumamos cada vez que lleva ejecutar cada paso y obtenemos un número finito, entonces la pelota lanzada por Alice alcanzará a Bob porque lleva una cantidad finita de tiempo alcanzar a Bob. Sin embargo, si sumamos todos los tiempos y obtenemos un número infinito, la pelota nunca llegará a Bob.

Entonces, ¿cómo hacemos para sumar todos estos tiempos? Echemos un vistazo a lo que tenemos que hacer. Queremos sumar el tiempo total [matemáticas] t = t_0 + t_1 + t_2 + t_3 +… [/ matemáticas], o [matemáticas] t = 1 + rac {1} {2} + rac {1} {4} + rac {1} {8} +… [/ matemáticas].

Esto se hace mejor usando una serie geométrica, que se ve así:
[matemáticas] sumlimits_ {k = 0} ^ infty ar ^ k = a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3… [/ math]

En términos de nuestro problema, estableceremos [matemáticas] a = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] r = rac {1} {2} [/ matemáticas].

Resulta que esta serie converge. No estoy seguro de a quién se le atribuye haber demostrado primero la convergencia de ciertas series geométricas. Creo que la prueba se debe a Euclides, aunque bien podría estar equivocado (alguien corríjame si es así, tengo mucha curiosidad). No escribiré la prueba, pero puede encontrarla aquí en la página de series geométricas.

La fórmula para una serie geométrica (derivada aquí de la serie geométrica) cuando [math] | r | <1 [/ math] es [math] sumlimits_ {k = 0} ^ infty ar ^ k = rac {a} {1-r} [/ math] entonces cuando [math] a = 1 [/ math] y [math] r = rac {1} {2} [/ math] la suma es igual a [math] sumlimits_ {k = 0} ^ infty left (rac {1} {2} ight) ^ k = rac {1} {1-rac {1} {2}} = 2 [/ matemáticas].

Por lo tanto, toma [matemáticas] t = 2 [/ matemáticas] segundos para que la pelota viaje de Alice a Bob. Teniendo en cuenta que Alice y Bob están separados por 2 metros y que la pelota viaja 1 metro por segundo, esto finalmente tiene mucho sentido.

Editar: como señala Agadh Gupta, si estamos tratando con una pelota en el mundo real con un radio real, entonces no necesitamos profundizar en el concepto de serie. Si la pelota tiene un radio físico, digamos 1 cm, entonces eventualmente golpeará el objetivo cuando esté a 1 cm de distancia. Sin embargo, si de hecho estamos lidiando con la paradoja de la dicotomía de Zenón, entonces estamos en un mundo hipotético de experimentos de pensamiento que requiere cantidades infinitas de pasos y el razonamiento anterior es necesario.

Answer 2

Esta es la paradoja de la dicotomía de Zenón.

Answer 3

La paradoja de Google Zeno, es un truco verbal,
Cuando su trozo de papel llega a la mitad, no se desacelera repentinamente a la mitad de la velocidad, cuando alcanza las tres cuartas partes de la forma en que no disminuye a la velocidad de un cuarto.

Answer 4

Hay dos razones relativamente sencillas.

Primero, mientras que la geometría generalmente trata con cosas que son continuas, el mundo exterior resulta no serlo. La física cuántica, en esencia (¡y nombre!) Se trata de descubrir que las cosas son mucho más discretas de lo que hubiéramos esperado.

En segundo lugar, si el universo fuera continuo, reducir a la mitad la distancia reduciría a la mitad la distancia requerida para cruzarlo, por lo que la subdivisión infinita no altera el tiempo total. Esa es, en términos generales, la lección del cálculo diferencial. Estás atravesando el espacio general, sin pasar por puntos enumerados.

Tenga en cuenta que hay situaciones en las que esto no es cierto. Si su curva tiene una naturaleza enrevesada y fractal, como un litoral, cuanto más precisamente mida, mayor será la distancia que encontrará.

Answer 5

Porque la geometría no es la realidad.

La geometría euclidiana describe sistemas continuos. Eso significa que en geometría, no hay una distancia o ángulo más pequeño. Como tal, independientemente de cuán pequeño sea un segmento de línea que tenga de A a B, siempre puede encontrar un punto C entre A y B. (De hecho, puede encontrar un número infinito de puntos entre A y B.)

Sin embargo, la geometría (como todas las matemáticas) solo se usa para modelar el mundo; en muchos casos, como este, en realidad no replica el mundo, sino que simplemente lo aproxima. En realidad, el mundo es probablemente discreto, lo que significa que hay una longitud y distancia más pequeñas, a menudo teorizadas como la longitud de Planck. En consecuencia, el papel no viaja sobre un número infinito de puntos, sino más bien un número muy grande (pero factible) de distancias de longitud de Planck.

Answer 6

El hecho de que pueda expresar una secuencia infinita no significa que no pueda determinar dónde terminará finalmente. Es decir, para muchas secuencias infinitas, aún puede sumarlas. Para simplificar, supongamos que la persona a la que se tira el papel está a 8 pies de distancia. El papel tendría que viajar primero la mitad de la distancia (4 pies) y luego la mitad de esa distancia (2 pies) y así sucesivamente. Tendría el siguiente patrón que representa la distancia que recorre el papel:

4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 … y así sucesivamente … pies (unidades de recuerdo)

Llamemos a esta distancia x, porque nos gusta x.

x = 4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 …

Ahora, si encontramos (1/2) x, dividiríamos ambos lados entre 1/2 y obtendríamos esto:

(1/2) x = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 … y así para siempre pies.

Alineemos nuestras 2 ecuaciones así:
x = 4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 …
(1/2) x = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 …

Si restamos la segunda ecuación de la primera, obtenemos (1/2) x a la izquierda, pero a la derecha podemos ver que la parte que se repite infinitamente se cancelará dejando solo el 4. Así que tenemos:

(1/2) x = 4

Dobla ambos lados para obtener x = 8. Dado que x fue la distancia recorrida, vemos que hemos descubierto que el papel todavía recorre los 8 pies completos hasta la cara de tu amigo, suponiendo que no te moviste y apuntaste bien.

Realmente me gusta esto como un ejercicio de álgebra porque involucra técnicas básicas de álgebra para resolver un problema increíblemente complejo, sin mencionar que tiene un buen “OMG! Acabo de sumar una secuencia INFINITA de números y obtuve una respuesta”.

El último paso es decirle a tu maestro y ver si puedes conseguir algún crédito extra. PD: En los Estados Unidos, las secuencias infinitas se aprenden generalmente en Cálculo II.

Editar: La respuesta muy corta es “porque lo hace” llamada prueba por contradicción. = P

Answer 7

Como señaló Justin Rising, esta es una variación de la paradoja de Zenón.

Y puedo resolver la paradoja de Zeno reintroduciendo el elemento que Zeno ignora:
Hora.

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Primero, cómo resuelvo la paradoja. Entonces, cómo lo aplico a su pregunta particular:
Aquiles está compitiendo con una tortuga. Suponemos que Aquiles puede correr diez veces más rápido que la tortuga. Aquiles le da a la tortuga diez metros de ventaja.
Pero antes de comenzar la carrera, presentaré el factor tiempo. Asumiré que a Aquiles le lleva un segundo correr un metro.
Ahora: comienza la carrera. Al ritmo establecido, a Aquiles le toma diez segundos correr diez metros. La tortuga está ahora un metro por delante.
Aquiles toma un segundo más para correr un metro más. La tortuga está un decímetro por delante.
Aquiles toma un segundo más para correr un metro más. La tortuga está ahora un decímetro más adelante: once metros y dos decímetros desde donde Aquiles comenzó a correr.
Pero Aquiles está ahora a doce metros por delante, lo que significa que está a 0,8 metros por delante de la tortuga.
Aquiles gana … en doce segundos.

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En teoría, por supuesto, podemos subdividir el tiempo infinitamente. Podemos subdividir el espacio infinitamente.
Pero en la práctica, es imposible reconocer incrementos tan pequeños. El milímetro está en el umbral de la conciencia para la mayoría de las personas; Es imposible notar micrones, nanómetros o picómetros con el ojo humano.
Y el segundo es el umbral de la percepción humana del tiempo. No podemos reaccionar conscientemente a los eventos que tienen lugar a una centésima de segundo. Los eventos que ocurren a intervalos de una millonésima de segundo serían demasiado rápidos para que nuestro sistema nervioso los registre.

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En la vida real, entonces, supongamos que un objeto lanzado se mueve tan rápido como Aquiles: un metro por segundo.
Si te pararas a dos metros de distancia, te golpearía en dos segundos.
Y aunque la paradoja diría que después de un metro, el objeto debe viajar un decímetro, un centímetro, etc., eso es irrelevante para la realidad.
El hecho es: al viajar un metro, el objeto ya ha viajado diez decímetros, cien centímetros, mil milímetros, un millón de micras, mil millones de nanómetros … etcétera.
Y recorrió todas esas distancias en el mismo segundo de tiempo.
A menos que haya una pérdida de energía cinética o un obstáculo en el camino, no hay razón para que el objeto no pueda viajar cuatro metros en cuatro segundos.

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En resumen: la paradoja de Zenón es una idea brillante, matemáticamente, que no predice absolutamente nada en la realidad.

Porque, al final, Aquiles venció a la tortuga.

Answer 8

Porque estás viendo el extremo incorrecto de los datos y, por definición, forzando la respuesta. Por definición, está reduciendo a la mitad la distancia cada vez. Pero el objeto no se está ralentizando en una proporción innumerable, sino que avanza lentamente, por lo que llegará allí como se esperaba.

Y, de hecho, se sabe que la secuencia 1/2 + 1/4 + 1/8 … la suma de todos ellos es “1”.

Answer 9

Pi tiene un número infinito de dígitos, pero es menor que 3.2. Es lo mismo aqui. El número binario es 1.11111111111 & c, pero eso es menos de 2.000000000, por lo que todos los puntos han pasado cuando llega a dos.

Es alto, paradoja zeno ‘.

Answer 10

El álgebra deja más claro lo que está sucediendo. Tasa = distancia dividida por el tiempo. r = d / t, o resolver d = rt. Entonces, la forma válida de hablar sobre la manipulación de xeno a 1 / 2d es decir 1 / 2d = 1 / 2rt. Entonces (1 / 2d) / (1 / 2t) = r en el límite, no importa cuán grande (pequeño) sea el denominador (2).