Un tema muy interesante (también una monstruosa madriguera de conejo) es la base de las matemáticas. La historia moderna generalmente comienza con el trabajo de Cantor sobre el concepto de infinito y de conjuntos infinitos. Luego visita la llamada teoría de conjuntos ingenua, donde en realidad se aplicaron restricciones insuficientes a la idea de lo que podría estar en un conjunto, lo que resulta en el descubrimiento de una paradoja (es decir, la paradoja de Russel, en la que uno pregunta si el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen se contiene a sí mismo, viene en otras formas, como la “paradoja del barbero” *), que los matemáticos intentaron evitar.
El resultado fue un nuevo sistema axiomático diseñado para evitar las trampas de paradojas como esta. Ese sistema se llama la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF). Hay un axioma adicional llamado axioma de elección, que tiende a usarse solo en matemáticas bastante avanzadas **, que cuando se agrega a ZF se llama ZFC (ZF con el axioma de elección).
Y con toda esta formalización, un compañero llamado David Hilbert tenía grandes planes para poner en marcha algo similar a la industrialización de las matemáticas y descubrir / probar todo lo que se podía descubrir y probar. Sin embargo, justo antes de entregar una velocidad que describe este plan, un joven llamado Kurt Goedel (cuyo nombre puede o no serle familiar) publicó un resultado, que destruyó por completo la viabilidad de la idea de Hilbert. El problema no era tanto la idea de Hilbert per se como cualquier otro sistema lógico capaz de producir aritmética. Los teoremas de incompletitud afirman (informalmente) que cualquier sistema que le permita construir aritmética contiene declaraciones que no pueden ser probadas dentro de ese sistema (por ejemplo, si el sistema es consistente o no, o está libre de paradojas). Si construye un sistema más poderoso que puede probar que el sistema original está libre de paradojas, entonces ese también está sujeto al mismo resultado. Aquí hay algunos vínculos muy profundos con la computación y la computabilidad (en particular, el “problema de detención”, o la tarea de descubrir metodológicamente, antes de ejecutar un programa, si ese programa se detendrá ***). Después de todo, si ejecuta un programa arbitrario durante un período de tiempo específico y no se detiene, eso no significa que no se detendrá solo un segundo o dos después de detenerlo.
Otro dato interesante en la historia, que se remonta a Georg Cantor, es sobre los tamaños de los conjuntos infinitos. Dado que el conjunto de números naturales tiene una cardinalidad infinitamente contable, y dado que el conjunto de números irracionales tiene una cardinalidad mayor, la “hipótesis del continuo” (CH) establece que existen cardinalidades infinitas entre estos dos. Cantor, ya de mala manera debido a que sus colegas matemáticos lo excluyeron por sus ideas, enloqueció primero intentando demostrar que el CH era cierto, luego que no era cierto. Se obtuvo una respuesta parcial a esto algunas décadas después de su muerte, ¡pero el resultado final verdaderamente sorprendente sobre el CH no llegó hasta mediados del siglo XX! Después de haberle dado una pista, espero que esté dispuesto y pueda averiguarlo.
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Ahora creo que lo que he escrito es mucha carne y podría llenar más de unos pocos ensayos de 4000 palabras, pero este es un agujero de conejo fascinante si escribes un ensayo sobre esto o no. Quizás no todo sean matemáticas, sino una buena cantidad de historia. Ese es el punto: las matemáticas no ocurren en el vacío, y las personas que lo practican y desarrollan son personajes importantes tanto como los resultados que produjeron.
* La paradoja del barbero es la siguiente. Imagine que en un pueblo vive un barbero que trabaja en ese pueblo. El letrero en la puerta de su tienda dice que se afeita a todos los hombres que viven en esta ciudad que no se afeitan. ¿Se afeita a sí mismo? Si lo hace, entonces no cumple los criterios para afeitarse a un hombre así, por lo que no se afeita a sí mismo. Si no lo hace, entonces satisface los criterios y, por lo tanto, se afeita. Contradicción de cualquier manera. Vea si puede encontrar algunas formas de cambiar las cosas para resolver / eliminar la paradoja.
** Ha causado cierta controversia, por lo que no todos lo han aceptado, pero ha ganado aceptación con el tiempo. También permite que funcione el teorema de Banach-Tarski, lo que parece paradójico (ver paradoja de Banach-Tarski). El teorema establece, brevemente, que una bola sólida en el espacio 3D puede descomponerse en un número finito de subconjuntos disjuntos (por lo que la intersección de cualquier par está vacía, como la intersección de los intervalos de 0 a 1 y de 2 a 3, que no comparta ningún número), que luego se puede rotar y traducir para construir dos copias de la bola original (sin puntos).
*** Un ejemplo de un programa (o conjunto de instrucciones) que sufre este tipo de “indecidibilidad” es este: dado un largo camino con varios puentes en el camino (un número que no conoce con anticipación) ), siga este camino hasta el penúltimo puente y no vaya más allá.